Диссипативная динамическая система
Cтраница 1
 |
Аттрактор Эно - 7 5. [1] |
Диссипативные динамические системы, как отмечалось выше, обладают тем свойством, что их решения при t - притягиваются к некоторому подмножеству меры нуль в фазовом пространстве. Это подмножество для случая регулярной динамики может быть либо устойчивой стационарной точкой, либо устойчивым предельным циклом, либо инвариантным тором. Все эти подмножества являются подмногообразиями фазового пространства. Математическим образом хаотических колебаний диссипативных систем служит странный аттрактор, который уже не обладает гладкой структурой и достаточной непрерывностью, предполагаемой в понятии подмногообразия. Геометрическое строение странных аттракторов более сложное. Они обладают геометрической ( масштабной) инвариантностью, кик, как иногда говорят, скейлинговой структурой. [2]
Аттракторам диссипативных динамических систем посвящено бльшое число работ. [3]
 |
Устойчивое W и неустойчивое Wu многообразия седлового предельного цикла. [4] |
В двумерных диссипативных динамических системах, поскольку фазовые траектории не могут пересекаться, возможны аттракторы только двух типов: устойчивые стационарные точки и устойчивые предельные циклы. Однако для систем с размерностью фазового пространства п 3 динамика уже не исчерпывается этими двумя простыми случаями. Кроме стационарных точек и предельных циклов в таких системах могут существовать и более сложные аттракторы, в частности двумерные инвариантные торы, отвечающие квазипериодическому движению с двумя рационально независимыми частотами. [5]
 |
Простейший вид биллиарда Синая. [6] |
К рассмотрению таких диссипативных динамических систем мы теперь и переходим. [7]
Сжатие фазового объема диссипативной динамической системы приводит к тому, что фазовые кривые с течением времени стягиваются к предельному множеству - странному аттрактору и, попав в область, занятую им, остаются там навсегда. На самом же аттракторе движение является неустойчивым: любые две траектории системы расходятся экспоненциально быстро, оставаясь, разумеется, на странном аттракторе. [8]
Итак, аттракторы диссипативных динамических систем могут быть нескольких типов: устойчивая стационарная точка, устойчивый предельный цикл, инвариантный тор ( все они относятся к простым аттракторам) и странный аттрактор. Простому аттрактору соответствует регулярное движение системы ( например, инвариантному тору - квазипериодическое движение); напротив, динамика систем со странным аттрактором является хаотической. Как видно, существует принципиальная разница в поведении систем со странными и простыми аттракторами. Поэтому необходимо иметь критерии, позволяющие отличать аттракторы одного типа от аттракторов другого типа. Поскольку хаотичность является следствием неустойчивости фазовых траекторий, так что близкие в фазовом пространстве интегральные кривые с течением времени расходятся, то представляется вполне естественным в качестве такого критерия выбрать именно меру разбегания фазовых крииых динамической системы. [9]
 |
Построение соленоида Смейла - Вильямса. [10] |
Таким образом, суммируя изложенное, можно сделать вывод, что не только простые консервативные, но и совсем несложные диссипативные динамические системы ( например, система Лоренца), размерность фазового пространства которых больше или равна трем, могут иметь наряду с регулярными и очень сложные, хаотические режимы движения. Математическим образом такого хаотического поведения диссипативных систем является притягивающее множество сложной структуры - странный аттрактор. [11]
Энтропия h ( 4) - величина размерная ( [ h ] с 1) и по существу является не только качественной, но и количественной характеристикой режима движения: величина, обратная энтропии ( при условии h 0), определяет характерное время перемешивания tmjx h 1 в системе; по прошествии промежутка времени ttmix начальная область Ш0 расплывается по всей энергетически доступной гиперповерхности ( в отсутствие диссипации, см. § 15) или по предельному подмножеству фазового пространства - странному аттрактору ( для диссипативных динамических систем); при mix описание системы может быть только вероятностным. [12]
В силу теоремы Лиувилля характерной особенностью движения га-мильтоновых систем является сохранение их фазового объема. В противоположность этому в диссипативных динамических системах фазовый объем в среднем сжимается. [13]
Поскольку фазовые кривые на странном аттракторе расходятся, то динамика системы с таким аттрактором во многом аналогична динамике в ограниченном объеме гамильтоновой системы с перемешиванием, т.е. является хаотической. Математическим образом такого хаотического движения в диссипативных динамических системах и служит странный аттрактор. При этом малые возмущения системы хотя и могут изменить структуру странного аттрактора, но не разрушают его: для всех близких динамических систем движение будет хаотическим. [14]
Но если изучаемая система достаточно сложна, то применение указанных методов становится чрезвычайно громоздким, если вообще возможным, и, как правило, наталкивается на непреодолимые трудности. Поэтому в настоящее время широко используются численные методы при исследовании устойчивости квазипериодического движения диссипативных динамических систем. [15]
Страницы: 1 2