Cтраница 2
С М) такое, что локально оно выглядит как кусок пространства М и имеет в каждой точке единственную касательную гиперплоскость, т.е. W вложено в М гладко. Например, предельный цикл и двумерный инвариантный тор - это соответственно одномерное и двумерное подмногообразия. Но в диссипативных динамических системах, размерность фазового пространства которых п 3, могут существовать ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами и одновременно не являются подмногообразиями. Такенсом в [101] и означал аттрактор, отличный от стационарной точки и предельного цикла. [16]
За многие годы по этому вопросу накопилась обширная литература, и читатель может обратиться к работам LaSalle [1], Плисса [1], Reissig, Sansone, Conti [1], Yoshizawa [1] для дальнейших ссылок. Продолжая рассуждения в духе Левинсона, В. А. Плисе [1] показал, что в конечномерном случае максимальное компактное инвариантное множество глобально асимптотически устойчиво. Для дискретной точечно диссипативной динамической системы Tk, k O) на произвольном банаховом пространстве X Horn [1], а также В. М. Герштейн и М. А. Красносельский [1] доказали существование неподвижной точки отображения Т, если оно вполне непрерывно. Billotti, LaSalle [1] получили тот же результат, охарактеризовав также максимальное компактное инвариантное множество и доказав, что оно глобально асимптотически устойчиво. [17]
С последующим изменением параметра д в фазовом пространстве многомерной динамической системы может произойти потеря устойчивости двумерного инвариантного тора и рождение трехмерного тороидального многообразия. При этом поведение системы характеризуется тремя независимыми частотами. Дальнейшее изменение управляющего параметра может привести к последовательности бифуркаций, в результате которых в фазовом пространстве диссипативных динамических систем возникают инвариантные торы все возрастающей размерности. В конечном счете мы приходим к сложному квазипериодическому движению с k несоизмеримыми частотами, которое при очень большом k будет выглядеть как хаотическое. Считая, что такой путь развития хаоса действительно возможен, Ландау [74, 75] и независимо Хопф [209, 210] выдвинули гипотезу, согласно которой хаотическая динамика диссипативных систем есть не что иное, как движение по инвариантному тору большой размерности. [18]