Cтраница 1
Гладкие динамические системы описываются дифференциальными уравнениями. В этой книге мы имеем дело только с конечномерными системами: они описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями на конечномерных гладких многообразиях. [1]
Тогда гладкая динамическая система на М, обладающая следующими свойствами: 1) квазиобщая; 2) не имеющая сепг-ратрис седел, содержащих в множестве своих предельных точек петли сепаратрис других седел ( или того же самого седла); 3) не имеющая сепаратрисы седла, содержащей в множестве своих а-предельных ( со-предельных) точек негиперболический цикл, который содержался бы также в множестве со-предельных ( а-предельных) точек некоторой сепаратрисы другого или того же самого седла и, в частности, не имеющая контуров; 4) не имеющая гомоклинических траекторий негиперболического цикла - является системой 1 - й степени негрубости. [2]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО гладкой динамической системы 5 ( - компактное подмножество F фазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из к-рых поведение ( по отношению к ней) всех соседних траекторий ( включая и те, к-рые не лежат в F) напоминает поведение траекторий возле седла. [3]
В случае гладких динамических систем, требуя у правых частей динамической системы не менее пяти производных, можно определить динамические системы второй степени негрубости как системы, относительно грубые во множестве систем, негрубых и не являющихся системами первой степени негрубости. [4]
Начиная примерно с I960 г. теория гладких динамических систем получила значительное развитие и оформилась в самостоятельный раздел математики с развитой системой понятий, методов, определенными задачами и достаточно глубокими достижениями. Разумеется, и раньше, начиная с Пуанкаре, существовали замечательные работы о гладких динамических системах, не уступающие современным достижениям, но полученные результаты не объединялись в единое целое из-за отсутствия необходимых понятий и методов, которые выделили бы их из общей массы работ о дифференциальных уравнениях. [5]
В настоящий сборник включены работы зарубежных математиков по теории гладких динамических систем. Они дают хорошее представление о развитии этой области математики после 1970 г. Работы охватывают следующие направления: проблему типичных свойств, связь между динамическими и гомологическими инвариантами гладких отображений, классификацию У-систем, некоторые аспекты теории систем с интегральными инвариантами. Обзорные статья содержат значительную информацию о работах по данной тематике, не вошедших в сборник. [6]
Перенос вдоль траектории является гомеомор физмом, а для гладкой динамической системы - диффеоморфиз мом. [7]
ГРУБАЯ СИСТЕМА, структурно устойчивая ( динамическая) система - гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого е0 найдется такое б0, что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в - метрике не более чем на б, существует гомеоморфизм фазового пространства, к-рый сдвигает точки не более чем на е и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Формально определение предполагает заданной нек-рую риманову метрику на фазовом многообразии. G с гладкой границей, не касаясь последней, причем возмущение и гомеоморфизм рассматривают только на G. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли. [8]
В этом нет противоречия, так как утверждение о том, что три - наименьшая размерность, относилось к гладким динамическим системам, а у движений осциллятора с ударами возможны скачки фазовой точки. [9]
Если G - группа Ли, W - гладкое многообразие, а отображение ( 5) гладкое, то говорят о гладкой динамической системе. [10]
Если бы оказалось ( как надеялись вначале), что системы, удовлетворяющие аксиоме А, типичны, это давало бы вполне удовлетворительное решение вопроса о типичных свойствах гладких динамических систем. В то же время в соответствующих примерах все-таки проявляется некоторая гиперболичность, только более слабая. Быть может, со временем эта ослабленная гиперболичность найдет отражение в подходящем общем понятии, но пока что за рамками гиперболических множеств имеется только два хорошо изученных типа инвариантных множеств, о которых известно, что эти типы сохраняются при малых возмущениях; оба они имеют довольно специальный характер. [11]
Ehresmann), завершившемся книгой [1] ( в связи с историей см. 2 ]), и было связано с переходом к глобальной точке зрения. Итому отчасти способствовала теория гладких Динамических систем, где разбиение фазового многообразия ( с выкинутыми равновесия положениями) на траектории потока является одномерным С. Особое положение, где траектории локально разбивают пространство, способствовало привлечению внимания к С. [12]
Просматривая перечень простейших типовых моделей дискретных детерминированных динамических систем; нетрудно заметить, что хаотические движения не встречались у двумерных систем, но появились, как только мы перешли к трехмерным. Это не случайно: у двумерных гладких динамических систем - автономных осцилляторов и ротаторов - хаотические режимы пе существуют. [13]
Начиная примерно с I960 г. теория гладких динамических систем получила значительное развитие и оформилась в самостоятельный раздел математики с развитой системой понятий, методов, определенными задачами и достаточно глубокими достижениями. Разумеется, и раньше, начиная с Пуанкаре, существовали замечательные работы о гладких динамических системах, не уступающие современным достижениям, но полученные результаты не объединялись в единое целое из-за отсутствия необходимых понятий и методов, которые выделили бы их из общей массы работ о дифференциальных уравнениях. [14]
Книга [8] содержит обзор современного состояния теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В ней изложены основы метода нормальных форм Пуанкаре н его приложения к исследованиям последних лет, основы теории гладких динамических систем, локальная теория бифуркаций. [15]