Cтраница 2
Тем не менее мы считаем целесообразным заметить, что жизнь настоятельно выдвигает на первый план поисковых исследований необходимость изучения объектов, функционирующих в непрерывном времени, которые, строго говоря, не могут быть определенно отнесены ни к гладким динамическим системам, ни к дискретным автоматам. Точнее, поведение упомянутых объектов как бы сочетает в себе черты тех и других: в одних условиях более четко проявляются свойства дискретных автоматов, а в других - гладких динамических систем. [16]
Наиболее важное направление исследований в 60 - 70 гг. было связано с вычислениями и явными формулами для энтропии классических и. Эта тема почти не отражена в книге Мартина и Ингленда. Первое замечание было сделано А. Г. Кушниренко [1965], показавшим, что энтропия гладкой динамической системы с гладким интегральным инвариантом конечна. К тому времени в серии работ Синая, Рохлина, Арова, Юзвинского был завершен подсчет энтропии алгебраических автоморфизмов компактных групп. [17]
Тем не менее мы считаем целесообразным заметить, что жизнь настоятельно выдвигает на первый план поисковых исследований необходимость изучения объектов, функционирующих в непрерывном времени, которые, строго говоря, не могут быть определенно отнесены ни к гладким динамическим системам, ни к дискретным автоматам. Точнее, поведение упомянутых объектов как бы сочетает в себе черты тех и других: в одних условиях более четко проявляются свойства дискретных автоматов, а в других - гладких динамических систем. [18]
Из формул видно, что энтропия служит мерой экспоненциальной скорости сближения ( или раз-бегания траекторий динамической системы. Само по себе это явление было известно давно, но энтропийная теория дала новый количественный и качественный подход к его анализу. Фактическое вычисление энтропии и, в частности, выделение классов диффеоморфизмов, для которых она положительна, еще далеко от завершения. Давно известно, что энтропия положительна для гиперболических систем, в частности, для геодезических потоков на многообразиях неположительной кривизны. Менее ясна ситуация с геодезическими потоками на многообразиях неотрицательной кривизны. В теории биллиардных потоков ( геодезические потоки на многообразиях с краем, газ твердых сфер) формулы для энтропии исследовались Синаем, Бунимовичем, Черновым ( Синай, Чернов [1982, 1987]) и др. Совсем в ином направлении формула для энтропии обобщена в недавно доказанной гипотезе об энтропии ( речь идет о топологической энтропии диффеоморфизма - см. статьи в сборнике Гладкие динамические системы. [19]