Cтраница 2
Прежде чем переходить к доказательств теоремы, отметим, что, хотя она не дает достаточных условий оптимальности в случае нелинейных систем, ее можно использовать для построения оптимального управления. Так же как соответствующая теорема в случае конечномерных систем, она дает полную систему соотношений для решения задачи. [16]
В этом параграфе мы обсудим, почему и до какой степени это можно сделать, введя понятие нормальных слов и разложения свободной алгебры на идеал и его нормальное дополнение. Затем мы введем очень важное понятие базиса Гребнера ( и равносильное ему понятие полной системы соотношений) и покажем, как строится базис Гребнера для произвольной конечно определенной алгебры. [17]
Дополнительное требование при этом состоит в том, что как векторное пространство полутензорное произведение по-прежнему изоморфно Л В, хотя умножение определено иначе. Это накладывает ограничения на hij, которые удобнее всего проверить с помощью леммы о композиции (2.5): полная система соотношений должна равняться объединению полных-систем соотношений Л, В с соотношениями [ xiyj ] hij. [18]
U и результат любой композиции элементов из U редуцируется за конечное число шагов к нулю, то это - полная система соотношений ( ср. [19]
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм независимы. Одно из соотношений между этими коэффициентами дает теорема Гаусса. Эти три соотношения составляют полную систему независимых соотношений между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности. Согласно Бонне теореме, если для двух дифференциальных квадратичных форм, из к-рых первая положительно определенная, выполнены соотношения Гаусса, Петерсона, Кодацци, то существует, и притом единственная, с точностью до положения в пространстве, поверхность, имеющая эти формы первой и соответственно второй квадратичными формами. [20]
Рассмотрение слабой эквивалентности дискретных преобразователей позволяет проводить наиболее глубокие и тонкие преобразования алгоритмов. Особенно большое значение в этой связи имеют развитие техники преобразований в алгоритмических алгебрах и использование этой техники для исследования конкретных алгоритмов с целью получения в некотором смысле наилучщих реализаций этих алгоритмов. Однако постановка общих задач для достаточно широких классов дискретных преобразователей, таких, как нахождение полной системы соотношений пли получение точных оптимизационных алгоритмов, в рамках слабой эквивалентности встречается с серьезными трудностями. Эти трудности определяются алгоритмической неразрешимостью в общем виде проблемы слабой эквивалентности дискретных преобразователей. Поэтому иногда оказывается целесообразным рассматривать более сильные формы эквивалентности. [21]
С формулировкой ( 2) все обстоит примерно так же, а формулировка ( 3) интересным образом совершенно перестает быть верной. Точнее говоря, элементы tx порождают группу бирациональных автоморфизмов Bir V, но она не является конечно порожденной. Последнее соотношение доказывается так. В нем фигурируют три кол-линеарные точки. Поэтому если вы примените бирациональное отображение txtytxoy к четвертой точке 2, то вы будете работать с четырьмя точками, которые лежат в одной плоскости. Эта плоскость высекает некую кубическую кривую, поэтому требуемое соотношение достаточно проверить для кубической кривой. С точностью до некоторых мелочей ( точки могут оказаться на одной из 27 прямых, лежащих на кубической поверхности) это полная система соотношений. Группа, которая получается таким образом, доказуемо не является группой конечного типа. Грубо говоря, мы получаем бесконечное свободное произведение групп Z / 2Z; если точек бесконечно много, то группа заведомо не может быть конечно порожденной. Поэтому теорема Морделла-Вейля в такой форме неверна. [22]