Cтраница 2
Устойчивость в вариациях рассмотрена для интегродифферен-циальных систем в параграфе 2.10, где для заданной системы приведен метод нахождения эквивалентной линейной дифференциальной системы и, затем этот метод применяется для изучения свойств: устойчивости нелинейных интегродифференциальных систем. [16]
Чтобы определить эту матрицу дисперсий, необходимо смоделировать составляющие процессов r ( t), tsp ( t) и vm ( i), соответствующие нулевому среднему значению как выходные переменные линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. Тогда x ( t) расширяется за счет состояний моделей, генерирующих различные стохастические процессы, а матрица дисперсий результирующего расширенного состояния может быть вычислена с использованием дифференциального уравнения для матрицы дисперсий. [17]
Иногда оказывается полезным использовать преобразованное представление уравнений состояния. Рассмотрим линейные преобразования линейных дифференциальных систем с постоянными параметрами. [18]
Все решения системы ( 5) одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому система ( 5) наз. Поэтому при исследовании вопросов устойчивости линейных дифференциальных систем достаточно ограничиться рассмотрением однородных систем. [19]
Иногда возникает задача моделирования стационарного стохастического процесса с известной спектральной плотностью энергии. В этом случае всегда имеется возможность генерировать стохастический процесс как процесс на выходе линейной дифференциальной системы; при этом матрица спектральных плотностей энергии аппроксимирует с произвольной точностью матрицу спектральных плотностей энергии исходного стохастического процесса. [20]
Одним из важных методов исследования качественного поведения решений нелинейных систем является использование соответствующих линейных уравнений в вариациях. Чтобы показать разнообразное поведение решений линейных интегродифференциальных систем, вначале обсудим метод построения эквивалентной линейной дифференциальной системы, а затем, используя этот метод, исследуем свойства устойчивости нелинейной интегродифференциальной системы посредством соответствующей вариационной системы. [21]
Определение сопряженной линейной системы для - уравнения порядка п было дано при m w Бнркгофом [ 1J, стр. Обращаем внимание читателя на то, что понятие сопряженной линейной дифференциальной системы введенное здесь, отлично от понятия сопряженной системы дифференциальных уравнений, введенного в гл. [22]
Анализ линейных систем управления излагается обобщенное описание задач управления, затем дается последовательный анализ различных аспектов качества систем управления. Одномерные и многомерные системы управления исследуются на основе единого подхода с использованием понятий средних значений квадрата ошибки слежения и квадрата входной переменной. Часть главы посвящена описанию векторных стохастических процессов, при этом особое значение придается представлению стохастических процессов как выходных переменных линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. [23]
Параграф 4.4 посвящен распространению метода Ляпунова на дифференциальные уравнения с бесконечным запаздыванием, использующего как функции, так и функционалы Ляпунова. Здесь представлен унифицированный подход, аналогичный соответствующей теории дифференциальных уравнений без запаздывания. Идея этого метода заключается в использовании верхних и нижних оценок одновременно с некоторыми вспомогательными функциями, так, чтобы получить оценку роста решений лучшим из возможных способов. В параграфе 4.6 исследуются критерии устойчивости интегродифференциальных уравнений типа уравнений Вольтерра аналогично тому, как это сделано в параграфе 4.4. В параграфе 4.7 использованы вариационные системы и их свойства. Здесь для данной линейной интегродифферен-циальной системы развивается метод нахождения эквивалентной линейной дифференциальной системы, которая затем используется при рассмотрении свойств устойчивости нелинейных интегродифференциальных систем. [24]
В настоящей главе рассматриваются некоторые примеры моделей реального мира, иллюстрирующие теорию, развитую в предыдущих главах. В параграфе 5.1 описываются математические модели роста конкурирующих популяций, а также модели хищник - жертва и исследуются свойства устойчивости ненулевого равновесия. В параграфе 5.2 изучаются дискретные модели, возникающие в экономике, и анализируется экспоненциальная устойчивость состояния равновесия, отвечающего работающей системе. В параграфе 5.3 рассматриваются консервативные механические системы с некоторыми диссипативнымк силами и изучаются свойства их устойчивости. В параграфе 5.4 представлены модели, взятые из экономики, и с помощью метода вектор-функций Ляпунова доказывается, что рынок стремится к некоторой заданной эволюции независимо от начальных условий. В параграф 5.5. анализируются упругопластичные модели, которые приводят t линейной интегродифференциалыюй системе, и изучается ее устой чивость путем использования метода приведения этой системы к экви валентной линейной дифференциальной системе. Параграф 5.6 посвя щен моделям химической кинетики. Здесь для исследования асимпто тической устойчивости решений реактивно-диффузионной системь применяется метод сравнения с функционалом Ляпунова. В заключи тельном параграфе 5.7 рассматриваются линейная и нелинейная мо дели вооружений и разоружения. [25]