Cтраница 1
Данная система аксиом оказывается не категорической. [1]
Рвачев не показал полноту данной системы аксиом, эффективность результатов, полученных на ее основе, свидетельствует в пользу справедливости предположения о ее полноте. Однако путь задания структуры языка имитации с помощью полной системы аксиом не является эффективным, так как он приводит к замкнутой структуре языка и не дает возможности получать конструктивным путем ее расширение и изменение в процессе функционирования языка. Более перспективным путем является зада - ние множества связей между элементами сложных систем с помощью списка простейших бинарных отноше -, ний между простейшими знаками и списка правил обра -, зоваяия производных отношений и знаков. Расширение языка в этом случае осуществляется довольно просто путем пополнения списков новыми отношениями и правилами. Язык имитации требует оперирования с континуумом более высокого порядка, чем пространственно-временной. [2]
Изучение средств, используемых в доказательствах теорем на основе данной системы аксиом, является одной из важных проблем в О. В Началах Евклида для доказательств применялась классич. Гильберт, наметивший основные задачи математич. [3]
В определении категоричности слово все относится к произвольный моделям данной системы аксиом. Поскольку, однако, в большинстве случаев нельзя обозреть все произвольные модели, определение категоричности оказывается неконструктивным. При рассмотрении формальных систем аксиом возникают трудности, связанные с определением понятия К. Еетеетвенно возникает вопрос о том, нельзя ли так уточнить понятие К.с.а., чтобы нестандартные модели были исключены. Другое уточнение понятия категоричности принадлежит польскому логику Лосю, к-рый ввел понятие категоричности в данной мощности. [4]
Второй особенностью метода Гильберта является анонимность объектов, подчиняющихся данной системе аксиом. Она вытекает из самой сути метода: вместо того чтобы выводить аксиомы из физических свойств рассматриваемых объектов, метод предоставляет пользователям самим подобрать систему аксиом, которая удовлетворительно описывает объект их исследования. Это обеспечивает высокий уровень абстрактности метода - одна и та же система аксиом охватывает множество разных теорий, создатели которых, имея дело с совершенно различными понятиями, могли и не подозревать, что они, по сути, занимаются одной и той же задачей. И еще, если две различные системы аксиом обладают некоторым важным общим свойством, то это может спроецироваться на следствия из этих систем. Поясним последнее утверждение на простом примере. [5]
Оценивая терм без привлечения конкретной алгебры, мы руководствуемся данной системой аксиом и, начиная с самых внутренних подтермов нашего терма, последовательно приводим его к нормальной форме. [6]
Итак, мы уточнили, что значит, что данное утверждение логически следует из данной системы аксиом. Как же практически можно искать логические следствия из аксиом. [7]
Возможны структуры, система аксиом которых определяет структуру с точностью до изоморфизма; иначе говоря, возможно, что всякие две структуры с данной системой аксиом изоморфны. Говорят в таком случае, что система аксиом данной структуры полна и что сама данная структура единственна. [8]
Можно потребовать, чтобы данная система аксиом была истинна для данной области при заменах переменных предикатов не любыми предикатами, определенными на данной области, а только такими, кото-рые принадлежат к некоторой определенной совокупности, составляющей часть множества всех предикатов. [9]
Формальная модель, на основе которой формируется алгоритм управления, имеет вид системы аксиом логики предикатов первого порядка и логического вывода. Доказательство правильности логического вывода из данной системы аксиом, означающее управляемость процессом комбинаторного взаимодействия технологических аппаратов, может быть выполнено любым из известных методов, например, методом резолюций ( см. гл. [10]
Аналогично обстоит дело и с вопросом о независимости аксиом. Какая-либо аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она невыводима из остальных аксиом этой системы. Для доказательства независимости какой-либо аксиомы достаточно найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой последней. Иными словами, для доказательства независимости аксиомы требуется найти интерпретацию системы аксиом, полученной из рассматриваемой после замены исследуемой аксиомы ее отрицанием. Поэтому, для того чтобы пользоваться системой аксиом, необходимо иметь заранее такие объекты, свойства и отношения, которые могут служить точной интерпретацией этой системы аксиом. [11]
Нужно помнить, что нельзя доказать адекватность представления интуиционистской теории в какой-нибудь формальной системе. В истолковании знаков всегда останется некоторая неопределенность и никогда нельзя будет доказать математически строго, что данная система аксиом действительно охватывает собою все пригодные методы доказательства. [12]
Выбор аксиом не является вполне объективной задачей. Обычно мы ожидаем достижения некоторой определенной цели - скажем, выводимости некоторой конкретной теоремы или теорем из данной системы аксиом - и наша задача является точной и объективной только в этих пределах. Но помимо этого всегда имеются другие важные пожелания менее формального характера. В ситуации, подобной нашей, последнее требование является особенно существенным, несмотря на свою неопределенность: мы хотим сделать интуитивное понятие поддающимся математическому изучению и увидеть с максимальной ясностью, каких предположений это требует. [13]
Системы объектов с одним отношением, для которых положения 1 и 2 выполнены, образуют определенный класс, а положения 1 и 2 мы можем рассматривать как определение систем этого класса. Утверждения, посредством которых мы таким образом выделяем совокупность объектов, носят названием аксиом. Если для какой-либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истинны, то говорят, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом, или является интерпретацией данной системы аксиом. [14]
Итак - продолжал Фергюссон - если задана неко - торая система аксиом, то доказательство в данной системе представляет собой конечную последовательность высказываний, построенную по очень строгим правилам. При этом оказывается совсем несложно чисто механическим путем решить, является ли данная последовательность высказываний доказательством в этой системе или нет. Собственно говоря, совсем несложно даже придумать машину, которая может это делать. Гораздо труднее оказывается создать такую машину, которая могла бы решать, какие высказывания в данной системе аксиом доказуемы, а какие нет. [15]