Cтраница 2
Проблема разрешимости в таком случае сводится к проблеме независимости, так как доказать, что данная проблема не разрешима в теории множеств, означает установить, что соответствующее утверждение и его отрицание не выводимы из данных аксиом. Найти систему аксиом, описывающую в известных, пределах теорию множеств, возможно, но решение вопросов непротиворечивости и независимости для такой системы аксиом наталкивается на существенные затруднения. Причиной этого является то обстоятельство, что интерпретации для тех или иных систем аксиом мы обычно находим в пределах теории множеств и в силу этого непротиворечивость самой теории множеств уже должны предполагать. Поставим следующий вопрос: в какой мере необходимо для решения вопросов непротиворечивости и независимости пользоваться исключительно методом интерпретаций. Допустим, что дана некоторая система аксиом, для которой мы хотим решить вопрос непротиворечивости. Поэтому для доказательства того, что система аксиом противоречива, достаточно найти какое-либо предложение 91, для которого осуществляется вывод из данной системы аксиом его самого и его отрицания. Чтобы доказать непротиворечивость системы аксиом, достаточно показать, что, какое бы положение ни высказать, не существует вывода из аксиом одновременно его и его отрицания. [16]