Cтраница 1
Зоноэдры имеют ряд важных приложений в кристаллографии. Его исследования были продолжены в работах Б.Н. Делоне и А. Д. Александрова, получивших ряд новых важных результатов по теории выпуклых многогранников и по математической теории структурного анализа кристаллов. [1]
Очевидно и обратное: каждый зоноэдр имеет центрально-симметричные грани. Таким образом, содержание теоремы 27.12 сводится к тому, что для любого зоноэдра KaRn справедливо неравенство с ( К) 2п, причем если К. [2]
Отсюда следует, что два равновеликих зоноэдра Г - равносоставлены. В частности, два конгруэнтных зоноэдра, как бы они ни были повернуты друг относительно друга, являются Г - равнососталлепными. [3]
Можно показать, что все параллелоэдры обязательно должны являться зоноэдрами. [4]
Этот удаленный слой можно разбить на параллелепипеды, верхними гранями которых будут служить грани зоноэдра, каждая нижняя грань которых будет идентична расположенной над ней верхней грани, причем соответствующие вершины этих двух граней будут попарно соединены равными и параллельными отрезками прямых. Таким образом, мы разрезали часть зоноэдра на параллелепипеды и получили зоноэдр с меньшим числом граней, ибо грани, образовавшие соответствующую зону, уже удалены. Мы можем теперь точно так же удалять слой за слоем до тех пор, пока оставшийся зоноэдр ( если он вообще останется) сам не окажется параллелепипедом. [5]
Из приведенных задач видно, что многогранники с центрально-симметричными гранями ( такие многогранники иногда называются зоноэдрами) в каком-то смысле можно рассматривать как пространственные аналоги центрально-симметричных многоугольников ( ср. [6]
Если мы разобьем на параллелограммы подобным образом каждую грань, не являющуюся параллелограммом, то мы сможем принять каждый из параллелограммов разбиения за отдельную грань зоноэдра и считать, что все грани зоноэдра представляют собой параллелограммы. [7]
Наиболее общий класс тел, про которые известно, что с помощью разрезаний их можно преобразо-вать в куб, а значит, и друг в друга, составляют так называемые зоноэдры. [8]
Если мы разобьем на параллелограммы подобным образом каждую грань, не являющуюся параллелограммом, то мы сможем принять каждый из параллелограммов разбиения за отдельную грань зоноэдра и считать, что все грани зоноэдра представляют собой параллелограммы. [9]
Отсюда следует, что два равновеликих зоноэдра Г - равносоставлены. В частности, два конгруэнтных зоноэдра, как бы они ни были повернуты друг относительно друга, являются Г - равнососталлепными. [10]
Этот удаленный слой можно разбить на параллелепипеды, верхними гранями которых будут служить грани зоноэдра, каждая нижняя грань которых будет идентична расположенной над ней верхней грани, причем соответствующие вершины этих двух граней будут попарно соединены равными и параллельными отрезками прямых. Таким образом, мы разрезали часть зоноэдра на параллелепипеды и получили зоноэдр с меньшим числом граней, ибо грани, образовавшие соответствующую зону, уже удалены. Мы можем теперь точно так же удалять слой за слоем до тех пор, пока оставшийся зоноэдр ( если он вообще останется) сам не окажется параллелепипедом. [11]
Этот удаленный слой можно разбить на параллелепипеды, верхними гранями которых будут служить грани зоноэдра, каждая нижняя грань которых будет идентична расположенной над ней верхней грани, причем соответствующие вершины этих двух граней будут попарно соединены равными и параллельными отрезками прямых. Таким образом, мы разрезали часть зоноэдра на параллелепипеды и получили зоноэдр с меньшим числом граней, ибо грани, образовавшие соответствующую зону, уже удалены. Мы можем теперь точно так же удалять слой за слоем до тех пор, пока оставшийся зоноэдр ( если он вообще останется) сам не окажется параллелепипедом. [12]
Очевидно и обратное: каждый зоноэдр имеет центрально-симметричные грани. Таким образом, содержание теоремы 27.12 сводится к тому, что для любого зоноэдра KaRn справедливо неравенство с ( К) 2п, причем если К. [13]
Из теоремы 27 вытекает, в частности, следующий интересный результат, принадлежащий Хадвигеру [29]: для того чтобы выпуклый многогранник был Т - равносо-ставлен с кубом, необходимо и достаточно чтобы каждая его грань была центрально-симметричным многоугольником. Выпуклые многогранники, представляющиеся в виде суммы Минковского нескольких отрезков, называются зоноэдрами; например, призма, основанием которой служит центрально-симметричный многоугольник, является зоноэдром. Теорема Александрова ( точнее, ее следствие) состоит в том, что выпуклый многогранник тогда и только тогда является зоноэдром, когда все его грани центрально-симметричны. Например, архимедово тело, гранями которого являются правильные шестиугольники и квадраты, представляет собой зоно-эдр. [14]
Этот удаленный слой можно разбить на параллелепипеды, верхними гранями которых будут служить грани зоноэдра, каждая нижняя грань которых будет идентична расположенной над ней верхней грани, причем соответствующие вершины этих двух граней будут попарно соединены равными и параллельными отрезками прямых. Таким образом, мы разрезали часть зоноэдра на параллелепипеды и получили зоноэдр с меньшим числом граней, ибо грани, образовавшие соответствующую зону, уже удалены. Мы можем теперь точно так же удалять слой за слоем до тех пор, пока оставшийся зоноэдр ( если он вообще останется) сам не окажется параллелепипедом. [15]