Cтраница 4
Гильберта; применение их для решения такой важнейшей проблемы оснований математики и логшш, как непротиворечивость, не только не согласуется с финитной установкой Гильберта, но и по существу приводит ( хотя бы ввиду наличия в теории множеств парадоксов) к порочному кругу. Это обстоятельство, однако, не снимает задачи теоретпко-мно-жеств. К числу таких проблем относится прежде всего проблема полноты дедуктивной исчисления предикатов, понимаемой в содержательно-семантическом смысле, п связанное с этой проблемой понятие произвольной интерпретации, носящее нефинитный, неконструктивный характер. Тем более это относится к представлению о совокупности всех интерпретаций и определяемому с помощью этого представления понятию о б щ е з и а-ч п м о с т п суждения. Геделя о полноте исчисления предикатов, и теорема Левенхейма - Сколема об интерпретируемости на натуральном ряде чисел любой непротиворечивой теории. Еще более выраженный теоретпко-мпожеств. [46]
S ( а тем самым и для ZF); в дальнейшем этот результат был перенесен на теорию типов ( самую слабую из перечисленных систем), а затем и на NF ( для ослабл. Установленная таким образом неразрешимость столь естественно поставленных проблем лишний раз подчерк-пула зыбкость платонистских представлений об объективности описываемых ими обстояний. Одним из серьезных источников установленных фактов является парадокс Сколема, говорящий об относительности понятия мощности; этот парадокс вытекает из теоремы Левенхейма - Сколема о наличии моделей произвольной мощности у непротиворечивых систем, в силу к-рой понятие категоричности системы аксиом для сколь-либо богатых систем оказывается беспредметным. [47]