Cтраница 2
На примере систем с матрицей АХ) ( здесь и далее неравенство АХ) означает, что матрица А - самосопряженная, положительно определена) рассмотрим другие постановки проблем оптимизации скорости сходимости итерационных процессов. Часть полученных результатов может быть применена и к несимметричным матрицам. [16]
На примере систем с матрицей А 0 ( здесь и далее неравенство А 0 означает, что А - симметричная положительно определенная матрица) рассмотрим более формализованные постановки проблем оптимизации скорости сходимости итерационных процессов. [17]
Итерационные методы могут иметь различное назначение: для теоретического исследования задач с целью доказательства существования и единственности решений; для приближенного аналитического решения уравнений, когда в качестве решения принимается аналитическое выражение какого-либо приближения ( при этом особенно важна скорость сходимости итерационного процесса), и, наконец, для получения приближенных численных решений. В последнем случае итерационный метод может быть как самостоятельным, дающим окончательный результат, так и вспомогательным, уточняющим результаты, полученные предварительно каким-либо другим методом. [18]
Скорость процесса сходимости метода Ньютона - Рафсона для методов МКР и МДУ можно определить, анализируя матрицы Якоби, составленные для систем уравнений баланса давлений и баланса расходов для цепей, соответственно. Скорость сходимости итерационного процесса зависит от преобладания абсолютных значений элементов, расположенных на главных диагоналях этих матриц над остальными элементами. На главной диагонали матрицы Якоби системы уравнений, соответствующей балансу давлений при использовании метода МКР, расположены суммы произведений последовательной переменной на параметр гидравлического сопротивления всех дуг цикла ( ветвей дерева и хорды графа), а недиагональные элементы составлены из таких произведений только для ветвей дерева. Поэтому для матрицы Якоби обязательным будет диагональное преобладание, что гарантирует сходимость метода Н - Р вследствие неравенства нулю определителя этой матрицы. Для матрицы Якоби системы уравнений баланса расходов при использовании метода МДУ диагональные элементы строк, соответствующих узлам, не связанным с линейно зависимым узлом, будут равны сумме абсолютных величин остальных элементов каждой из этих строк. [19]
Коэффициенты а -, [ -, у - и свободный член А ( i2) определяются по формулам, предложенным в гл. Исследование скорости сходимости итерационных процессов, даваемых различными линеаризациями, для уравнений системы (5.2) проводится совершенно аналогично тому, как это было проделано в гл. [20]
Для иллюстрации возможностей и оценки эффективности предложенного в § 3.2 алгоритма приведены результаты решения задач изгиба гибких линейно-упругих пластин различной формы при граничных условиях шарнирного закрепления и жесткой заделки и их комбинациях, находящихся под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок. Дан численный анализ скорости сходимости итерационного процесса в зависимости от выбора параметров релаксации а, а, а. Проведено сравнение результатов с решениями, имеющимися в литературе. При решении задачи МГЭ контур пластины был разбит на 20 одинаковых по длине элементов. [21]
Последовательность решений и ( п, v ( n, wn) должна сходиться к искомому решению упруго-пластической задачи. Как показано в многочисленных расчетах, скорость сходимости итерационного процесса в значительной степени зависит от вида диаграммы ст-8. При большом упрочнении, когда диаграмма не сильно отличается от линейной, часто достаточно трех, четырех итераций для получения результатов с удовлетворительной точностью. [22]
Заметим, что q, вообще говоря, зависит от номера итерации. Именно эта величина и используется в определении асимптот и-ческой скорости сходимости итерационного процесса. [23]
Развитый подход отличают от ранее известных следующие характерные черты. Для точного решения задачи Римана здесь построен быстрый и эффективный численный алгоритм и получены оценки скорости сходимости итерационного процесса. При этом преодолена трудность, связанная с построением численного метода, который допускал бы сквозной расчет обмеления и областей сухого дна. Применение формул точного решения задачи Римана вместо формул приближенных решений по методам Куранта-Изаксона - Риса и Роу, включающих в себя операцию деления на квадратный корень из глубины ( разд. Таким образом, точное решение задачи Римана является более универсальным по сравнению с приближенными решениями, описываемыми далее. [24]
Для сокращения этого времени матрицу / ТЧх), вычисленную на ( & 1) - й итерации, используют для вычисления не только х (, но и нескольких следующих приближений. При этом скорость сходимости итерационного процесса замедляется, однако общий выигрыш во времени может быть большим. [25]
Из (5.58) видно, что при ое [0; 2] энергия не возрастает и, следовательно, итерационный процесс будет сходиться к требуемому минимальному значению. Существование посторонних минимумов энергии свидетельствует о плохой обусловленности линейной системы. Параметр со определяет скорость сходимости итерационного процесса - скорость релаксации. [26]
Предлагаемый алгоритм - процедуру ritzit - следует использовать для вычисления наибольших по абсолютной величине собственных значений и соответствующих им собственных векторов произвольной симметрической матрицы. Это правило реализуют с помощью вспомогательной процедуры ор, которая является формальным параметром процедуры ritzit. Кет) матрицы А необходимо одновременно проводить итерации с р ( р ет) векторами, и их число существенно влияет на свойства сходимости. Действительно, скорость сходимости итерационного процесса ограничена величинами Яр / Яет и ехр ( - arch ( Ает / Я. Причем она близка к первой величине, если отношение Xj / Яет велико, и близка ко второй, если указанное отношение порядка единицы. Следовательно, процедура ritzit будет сравнительно быстродействующей для тех матриц, наибольшие собственные значения которых близки друг к другу. [27]
Во второй главе изложена методика отыскания асимптотически устойчивых предельных режимов движения машинных агрегатов. С помощью принципа сжимающих отображений построен равномерно сходящийся итерационный процесс, позволяющий с любой степенью точности находить предельные режимы. Принципиальной особенностью данного метода, отличающего его от других методов, используемых в динамике машин, является то, что он совершенно не связан со случайным выбором начальных условий, величиной промежутка и шага интегрирования, а приближения к искомому режиму находятся в виде функций, определенных на всем промежутке изменения угла поворота главного вала. Исследованы характер и скорость сходимости итерационного процесса. Найдены удобные для инженерных расчетов формулы, позволяющие программировать весь процесс вычислений и на каждом шаге оценивать погрешности, с которыми получаемые приближения воспроизводят предельный режим. [28]
Описанная система уравнений линейна при закрепленных температурах и потоках пара и жидкости к легко решается относительно концентраций потоков жидкости и пара по тарелкам колонны. По составу жидкой фазы определяется температура на каждой тарелке. Из уравнений общего материального и теплового балансов находятся потоки жидкости. Паровые потоки вычисляются по) фавнениям общего материального баланса через жидкостные потоки. Затем цикл расчета повторяется при новых температурах и потоках жидкости и пара до требуемой точности сходимости выбранной функции цели. Скорость сходимости описанного итерационного процесса во многом зависит от начальных приближений. В другом методе [5] после определения покомпонентных потоков, их суммированием вычисляются общие потоки пара и жидкости на каждой тарелке. Из уравнений теплового баланса методом Ньютона определяются температуры. Для очередного приближения используется метод простых итераций. Для получения надежной сходимости этим методом используется корректировка профиля температур. [29]
Кафедрой был обеспечен выпуск первых высококвалифицированных специалистов, выполнен ряд крупных научных исследований. Основу вычислительной математики составляют методы приближения, понимаемые в самом широком смысле. Строгое изучение любых приближений возможно лишь в конкретном функциональном пространстве, только при таком подходе могут быть найдены и скорость сходимости итерационного процесса, и оценка погрешности счета. Принципиально важным был и цикл работ С. Л. Соболева, посвященный обоснованиям правильности вычислительного алгоритма. [30]