Cтраница 2
Для последней, особенно в случае простых множеств D и G ( например, конечных), отыскание байесовских и минимаксных стратегий может оказаться делом сравнительно простым. В то же время даже простейшие статистические игры имеют весьма сложную природу множества 3), п это заметно усложняет их изучение, если подходить к ним как к обычным играм. [16]
Одним из возможных принципов выбора стратегии может быть принцип минимакса, который успешно применяется в стратегических играх, когда игра ведется против разумного противника, желающего причинить нам наибольший ущерб. Однако в ряде случаев целесообразно использовать этот принцип и в статистических играх. [17]
Обозначим через OD, Ов соответственно а-алгебры борелевских множеств из D и из в. Следуя § 2.3, обозначим ( SD, в, W) усредненную статистическую игру, где элементами в являются распределения Q на ( 9, Се), а элементами 0 являются распределения п ( х) л ( х, ) на ( D, ас) ( для каждого хе Я. [18]
Мы в дальнейшем рассмотрим несколько принципов, которыми может руководствоваться статистик при выборе своей стратегии. При этом следует отметить, что среди статистиков не существует единого мнения на то, какой из принципов является наилучшим в статистических играх. Другими словами, не существует универсального правила, позволяющего выбрать определенный образ действия независимо от сложившейся ситуации. Однако, хотя могут иметься разногласия относительно того, что нужно делать в данной ситуации, можно прийти к полному согласию относительно того, что не нужно делать. Зто можно сделать, введя понятие допустимых стратегий, аналогичное понятию доминирующих стратегий в стратегических играх. [19]
Здесь статистик не делает попытки уточнить свои знания о действительном состоянии природы путем проведения эксперимента. Поэтому данный тип статистической игры может быть назван статистической игрой без эксперимента. [20]
В таких играх каждая из сторон предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ей и менее выгодны противнику. Такого рода ситуации принято называть играми с природой. Игрок II - природа - в теории статистических игр не является разумным игроком, так как рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Возможные состояния природы ( ее стратегии) реализуются случайным образом. В исследовании операций оперирующую сторону ( игрока I) часто называют статистиком, а сами операции - играми статистика с природой или статистическими играми. [21]
Здесь статистик не делает попытки уточнить свои знания о действительном состоянии природы путем проведения эксперимента. Поэтому данный тип статистической игры может быть назван статистической игрой без эксперимента. [22]
Мы уже отмечали, что утверждения теорем 2.1 - 2.5 для статистических игр полностью сохраняются, так как они с природой игр не связаны. Чтобы получить две фундаментальные теоремы, упоминавшиеся в § 2, введем некоторые предположения. Это далеко не самые общие предположения ( иначе формулировки и доказательства чрезвычайно усложнились бы), по они достаточно широкие, чтобы охватить наиболее интересный и содержательный круг задач и, в частности, задачи, рассмотренные в гл. [23]
Анализ матрицы выигрышей игры с природой начинается с выявления и отбрасывания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий лица, играющего с природой, по правилам, рассмотренным в § 12.2. Что касается стратегий природы, то ни одну из них отбросить нельзя, так как каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий игрока I. Ввиду того что природа не противодействует игроку I, может показаться, что игра с природой проще стратегической игры. Противоположность интересов игроков в стратегической игре в некотором смысле как бы снимает неопределенность, чего нельзя сказать о статистической игре. [24]
В таких играх каждая из сторон предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ей и менее выгодны противнику. Такого рода ситуации принято называть играми с природой. Игрок II - природа - в теории статистических игр не является разумным игроком, так как рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Возможные состояния природы ( ее стратегии) реализуются случайным образом. В исследовании операций оперирующую сторону ( игрока I) часто называют статистиком, а сами операции - играми статистика с природой или статистическими играми. [25]
Более гибким и соответственно более конструктивным подходом к проверяемости общих утверждений, содержащих кванторы V и 3, является признание того, что общим утверждениям присуща некоторая неопределенность и что общие утверждения в каждый конкретный момент времени могут выражать только относительную, а не абсолютную истину. В современной литературе по логике и методологии науки предложены различные и зачастую конкурирующие спецификации этого подхода. Шлика вопросы проверяемости общих утверждений обсуждались специалистами по математической статистике как проблемы статистической проверки гипотез и в результате этого обсуждения был предложен ряд методов решения этих проблем, которые используются в математической статистике и по сей день. Вальда, статистические игры Хорда и др., естественным образом входят в проблематику обоснования индуктивного вывода и должны приниматься во внимание при анализе проблемы проверяемости общих утверждений. В общеметодологическом плане наиболее важным является рассмотрение полной системы гипотез Hi, ( полнота здесь означает, что дизъюнкция всех гипотез U Hi в случае конечного или счетно-бесконечного множества гипотез тождественно истинна); приписывание гипотезам апостериорных вероятностей на основе наблюдения за наступлением или ненаступлением событий, совместимых с гипотезами; отход от простой аристотелевой стратегии принятия за истинную гипотезы не Н при условии, что гипотеза Я признана ложной. [26]
Зачастую получается так, что оптимальными оказываются несколько вариантов. Это имеет место или в случае действительной равнозначности вариантов, или в результате погрешностей в оценке параметров. Нельзя отбрасывать и те варианты, которые близки к оптимальным. В связи с этим возникает задача более уточненной оценки вариантов, требующая дополнительной информации. Наиболее точная оценка может быть получена при разработке по каждому варианту рабочей документации и изготовлении опытного образца. Все это связано со значительными затратами времени и трудовых ресурсов. Задача оценки параметров относится к области статистических решений, а точнее - к статистическим играм с последовательными экспериментами. Решение такой задачи в общем виде применительно к проектированию еще не получено. Руководитель проекта в настоящее время принимает решение о дальнейшей разработке вариантов на основании собственного опыта и интуиции. [27]