Cтраница 2
Анализ таких игр во многом напоминает анализ выпуклых игр на единичном квадрате, проведенный в предшествующих параграфах. [16]
Однако, как мы сейчас увидим, отличие выпуклой игры на единичном квадрате с неограниченной функцией выигрыша от ранее рассмотренных выпуклых игр чисто формальным и остается, потому что стратегии игрока 2, на которых его потери становятся уже очень большими, оказываются доминируемыми и могут быть исключены из рассмотрения. [17]
Покажем, что анализ игр такого рода сводится к анализу уже рассмотренных выше выпуклых игр. [18]
Для простоты дальнейших рассмотрений мы ограничимся случаем, когда оптимальная стратегия у игрока 2 в выпуклой игре Г является единственной. Это будет, например, в том случае, когда функция выигрыша Я строго выпукла ( ср. [19]
В этом и в следующих параграфах будут описаны строение и способы нахождения оптимальных стратегий игроков в выпуклых играх на единичном квадрате. [20]
Однако, как мы сейчас увидим, отличие выпуклой игры на единичном квадрате с неограниченной функцией выигрыша от ранее рассмотренных выпуклых игр чисто формальным и остается, потому что стратегии игрока 2, на которых его потери становятся уже очень большими, оказываются доминируемыми и могут быть исключены из рассмотрения. [21]
Сначала мы построим достаточно простую теорию выпуклых игр на единичном квадрате, а затем рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к случаю более общих выпуклых игр. [22]
Дадим один пример применения развитой теории игр с выпуклыми платежами к классической математической задаче, который должен продемонстрировать еще раз пользу рассмотрения выпуклых игр. [23]
Замечательное свойство выпуклых игр состоит в том, что для любого порядка N соответствующий вектор маргинальных вкладов принадлежит ядру. Следовательно, выпуклая игра является сбалансированной. [24]
Выпуклые игры представляют собой важный класс игр, в которых ядро непусто и содержит вектор Шепли. На самом деле вектор Шепли расположен в центре ядра выпуклой игры. Грубо говоря, игра является выпуклой, если имеет место возрастание доходов от кооперации. В рамках ТП-игр этот тезис читается следующим образом: чем больше коалиция, к которой присоединяется игрок i, тем больше его маргинальный вклад. [25]
Очевидно, теория вогнутых игр будет двойственной к ней, и ее положения получаются естественным образом из соответствующих положений теории выпуклых игр. [26]
Важные работы были проделаны ( и ведутся в настоящее время) в направлении исследования с-ядра. Было показано ( впервые, очевидно, О. Н. Бондаревой в 1963 г. и повторно Шепли в 1965 г.), что принадлежащие некоторому классу игры с побочными платежами в форме характеристической функции имеют непустое с-ядро; с-ядра выпуклых игр изучались Шепли, который обнаружил их специфическую регулярную структуру; Ауман ввел понятие с-ядра игры без побочных платежей, а Скарф нашел необходимое и достаточное условие того, что последняя обладает непустым с-ядром. [27]
Шепли и находим его для наших простых примеров. Оказывается; что вектор Шепли может не принадлежать ядру игры ( когда последнее ие пусто), и это его главный этический недостаток. Поэтому особенно интересно найти класс ТП-игр, называемых выпуклыми играми, в которых вектор Шепли располагается в центре ( непустого) ядра. Выпуклые игры обсуждаются в разд. Другими словами, кооперация обладает свойством увеличения доходов на масштаб. [28]
Шепли и находим его для наших простых примеров. Оказывается; что вектор Шепли может не принадлежать ядру игры ( когда последнее ие пусто), и это его главный этический недостаток. Поэтому особенно интересно найти класс ТП-игр, называемых выпуклыми играми, в которых вектор Шепли располагается в центре ( непустого) ядра. Выпуклые игры обсуждаются в разд. Другими словами, кооперация обладает свойством увеличения доходов на масштаб. [29]
Оказывается, что НТП-игра для экономики с общественным продуктом при весьма слабых предположениях о предпочтениях и затратах всегда имеет непустое ядро. Нужно только, чтобы функция затрат была бы непрерывной неубывающей функцией, предпочтения были монотонными и должно быть выполнено еще одно ограничение, гарантирующее, что агенты ие захотят производить бесконечно большое количество общественного продукта. Точная формулировка приведена в разд. Для того чтобы полностью понять это утверждение, нужно сначала обобщить понятие выпуклой игры ( определение 5.2) на случай НТП-игры. В то же время интуитивно все ясно: когда агент присоединяется к существующей коалиции, он добавляет свою долю затрат в общий котел, тем самым увеличивая полезность всех членов коалиции. Чем больше существующая коалиция, тем большую добавку благосостояния дает его присоединение. [30]