Cтраница 1
Идеал полугруппы S называется минимальным, если он не содержит не равных себе идеалов полугруппы S. Идеал / полугруппы S называется - минимальным, если / f 0 и / не содержит отличных от / и 0 идеалов полугруппы S. Следовательно, в общем случае минимальность не влечет 0-минимальность. Минимальные и 0-минимальные левые и правые идеалы определяются аналогично. [1]
Комбинаторным идеалом полугруппы будем называть идеал, максимальные подгруппы которого тривиальны. [2]
Лемма 1.12. Пусть I - идеал полугруппы S и J - максимальный идеал из S, строго содержащийся в I. Для произвольного а е / / обозначим через / ( а) множество всех таких xeS aS1, что SlxS cr SlaSl. Тогда / ( а) является идеалом в S и фактор полугруппы Риса SlaSl / I ( a) и I / J изоморфны. [3]
Главы Ш и 17 посвящены изучению отруктур идеалов полугрупп полных я частичных эндоморфизмов свободных универсальных алгебр. [4]
Основные результаты связаны здесь с отношениями Грина на идеалах полугруппы и с теоремами о представлении, полученными Рисом и Щютценберже. [5]
Пересечение любого семейства левых [ правых, двусторонних ] идеалов полугруппы, если оно непусто, само будет левым [ правым, двусторонним ] идеалом. [6]
В ряде работ И. С. Понизовского объектом исследования являются упорядоченные по включению ряды идеалов полугруппы S. В работе [28] установлено, что полугруппа 5 нормально проста ( не содержит собственных нормальных подполугрупп), если все факторы какого-нибудь ее возрастающего идеального ряда нормально просты. В работе [29] дано описание гомоморфизмов коммутативной полугруппы с помощью гомоморфизмов ее идеальных факторов. В работе [30] проведено аналогичное исследование гомоморфизмов полугруппы на коммутативную полугруппу. В более поздней работе [31] этим же методом И. С. Понизовский исследует строение инверсных полугрупп с конечным числом идемпотентов. [7]
Идеал полугруппы S называется минимальным, если он не содержит не равных себе идеалов полугруппы S. Идеал / полугруппы S называется - минимальным, если / f 0 и / не содержит отличных от / и 0 идеалов полугруппы S. Следовательно, в общем случае минимальность не влечет 0-минимальность. Минимальные и 0-минимальные левые и правые идеалы определяются аналогично. [8]
Тогда / будет единственным ( кроме, быть может, 0) минимальным или 0-минимальным идеалом полугруппы S. [9]
Пусть / х - максимальный ( по включению) член из 3 I: I есть идеал полугруппы S и ограничение 0 на / - взаимно однозначное отображение, / i S, поскольку 0 не является взаимно однозначным на полугруппе S. Тогда / 2 - идеал полугруппы S, содержащий / х как собственное подмножество. Следовательно, по определению / х 0, ограниченный на / 2, не, является взаимно однозначным. [10]
Любая конечная цепь в решетке IdS, включающая единицу этой решетки, называется ( конечным) рядом идеалов полугруппы S; в полугруппах с нулем разумно начинать каждый ряд идеалов с нуля, в полугруппах без нуля иногда такой ряд начинают с пустого множества. [11]
Если К - ядро полугруппы S, то в К кет не только строго содержащихся в нем идеалов полугруппы S, но и идеалов самой полугруппы / С; если при этом К есть группа, то полугруппу S называют гомогруппой. S является левым и правым делителем. В этом случае ядро S состоит из всех зероидных элементов. Всякая конечная полугруппа, разумеется, имеет ядро; конечная коммутативная полугруппа будет гомогруппой. Если полугруппа S обладает минимальным левым идеалом L, то: 1) для любого JteS произведение Lx также будет минимальным левым идеалом, причем всякий минимальный левый идеал может быть получен таким способом; 2) каждый минимальный левый идеал не содержит своих собственных левых идеалов; 3) каждый левый идеал содержит некоторый минимальный левый идеал; 4) объединение всех минимальных левых идеалов ( образующих, очевидно, россыпь полугруппы S) будет ядром S. Разумеется, верны утверждения, двойственные к только что перечисленным. [12]
Так как / С ( 5) - всегда простая полугруппа, полугруппа fn i К ( S) будет 0-простой. С есть ненулевой идеал полугруппы S / 7 /, содержащийся в Fj Ij-i / Ij, и пусть т): 5 - - 5 / / / - канонический эпиморфизм. [13]
Пусть / х - максимальный ( по включению) член из 3 I: I есть идеал полугруппы S и ограничение 0 на / - взаимно однозначное отображение, / i S, поскольку 0 не является взаимно однозначным на полугруппе S. Тогда / 2 - идеал полугруппы S, содержащий / х как собственное подмножество. Следовательно, по определению / х 0, ограниченный на / 2, не, является взаимно однозначным. [14]
Идеал полугруппы S называется минимальным, если он не содержит не равных себе идеалов полугруппы S. Идеал / полугруппы S называется - минимальным, если / f 0 и / не содержит отличных от / и 0 идеалов полугруппы S. Следовательно, в общем случае минимальность не влечет 0-минимальность. Минимальные и 0-минимальные левые и правые идеалы определяются аналогично. [15]