Cтраница 2
Говорят, что S - полугруппа с двусторонним сокращением, если для любых х, у, z из S из соотношения xzyz следует ху и из соотношения zxzy также следует ху. S называется полугруппой с левым делением. Если же выполняются оба включения, то Т1 - идеал полугруппы S. Полугруппа называется моногенной ( или циклической), если она порождается одним элементом. [16]
Основные понятия ( равно как и результаты) здесь в значительной степени параллельны соответствующим теоретико-кольцевым и естественнее всего оформляются для полугрупп с нулем. Отправным является следующее понятие. Если р - радикал, то полугруппа S называется р-радикальной [ р-полу-простой ], если p ( S) S [ p ( S) Oj. Здесь рисовским подпрямым произведением называется подпрямое произведение, у которого ядро каждого проектирующего гомоморфизма есть конгруэнция Риса. Всякий радикал является либо наднильпотентным, либо подыдемпотентным. Если р - радикал, то идеал p ( S) часто называют р-радикалом полугруппы S. Для тех или иных конкретных р соответствующие р-радикалы имеют особые названия. Перечислим некоторые из них, рассматривавшиеся в литературе ( см., например, Вosak J. Радикал Маккоя M ( S) - пересечение всех первичных идеалов полугруппы S; этот радикал совпадает с радикалом Бэра В ( 5) - наименьшим среди идеалов S, факторполугруппы Риса по которым не имеют ненулевых нильпотентных идеалов. [17]