Cтраница 1
Элементарные идеалы, определенные для любого конечного копредставления, являются обобщениями полиномов узла, которые мы определим в следующей главе для копредставлений групп узлов. Имеется несколько преимуществ введения идеалов раньше полиномов. Прежде всего, в то время как идеалы определяются для произвольного конечного копредставления группы, полиномы существуют и единственны только для более ограниченного класса групп, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям. В следующей главе мы обсудим эти условия и покажем, что всякая группа ручного узла удовлетворяет им. [1]
Аналогично элементарные идеалы образуют возрастающую цепь, так что утверждение (1.2) эквивалентно тому, что tEi J. Мы показали, что EI является главным идеалом, порожденным элементом AI. [2]
Найти цепочку элементарных идеалов свободной абелевой группы ранга п и - вывести из этого, что при п свободная группа ранга п не абелева. [3]
Некоторые авторы называют элементарные идеалы фиттинговыми или детерминантными. [4]
Эквивалентные матрицы определяют одинаковые цепочки элементарных идеалов. [5]
Свойство ( 2) вытекает из инвариантности элементарных идеалов относительно антиавтоморфизма я - дг1, у - у-1, что доказывается точно так же, как и в основном тексте гл. [6]
Мы воспользуемся следствием (3.2) и тем, что элементарные идеалы образуют убывающую цепочку ( см. (4.1) гл. Пусть ( Л /) и ( Дь i) - главные идеалы, порожденные элементами Д & и Aft i соответственно. [7]
Из предложения (3.2) и того, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые элементарные идеалы, вытекает весьма важное на практике следствие. Полиномы копредставлений, как и элементарные идеалы, могут вычисляться исходя из любой матрицы, эквивалентной матрице Александера. [8]
Следующая теорема представляет собой аналог для полиномов узла теоремы инвариантности элементарных идеалов ( см. (4.5) гл. Она, по существу, утверждает, что полиномы узла являются инвариантами типа узла. [9]
Всякий полином узла Д & является образующим наименьшего главного идеала, содержащего элементарный идеал ЕЪ. [10]
Проблема, возникающая перед нами, в первую очередь состоит в том, чтобы доказать, что элементарные идеалы конечного копредставления являются инвариантами типа копредставления. Основная часть доказательства поэтому состоит в изучении действия каждой из этих операций на матрицы Александера. Для ясного понимания формулировки теоремы об инвариантности, которая приводится ниже, читатель может просмотреть основные определения и результаты гл. [11]
Для произвольного конечного копредставления ( х: г) и неотрицательного целого числа k мы определим k - u элементарный идеал копредставления ( х: г) как k - u элементарный идеал матрицы Александера этого копредставления. В силу теоремы (4.2) можно, конечно, вычислять элементарные идеалы копредставления, исходя из матриц, эквивалентных матрице Александера. [12]
Имеет ли n - зацепляемость что-либо общее с тождественным исчезновением полинома Алексан-дера Д (, /) или с длиной цепочки элементарных идеалов. [13]
Сравнение этого примера с предыдущим показывает, что узлы, представленные на рис. 50 и 51, имеют одинаковые полиномы, но разные элементарные идеалы. Эти примеры оправдывают утверждение, сделанное в гл. [14]
Для произвольного конечного копредставления ( х: г) и неотрицательного целого числа k мы определим k - u элементарный идеал копредставления ( х: г) как k - u элементарный идеал матрицы Александера этого копредставления. В силу теоремы (4.2) можно, конечно, вычислять элементарные идеалы копредставления, исходя из матриц, эквивалентных матрице Александера. [15]