Cтраница 2
Если узел k имеет род Л, то как показано ниже в § 4, можно найти копредставление группы GIG, имеющее ровно 2 / г соотношений. Так как элементарные идеалы групп G и GIG совпадают ( см. упр. VI), то сделанное утверждение непосредственно вытекает из сказанного выше. [16]
Из предложения (3.2) и того, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые элементарные идеалы, вытекает весьма важное на практике следствие. Полиномы копредставлений, как и элементарные идеалы, могут вычисляться исходя из любой матрицы, эквивалентной матрице Александера. [17]
Индекс t обозначает транспонированную матрицу. Транспонированная матрица имеет, очевидно, те же элементарные идеалы, что и исходная матрица. [18]
Для произвольного конечного копредставления ( х: г) и неотрицательного целого числа k мы определим k - u элементарный идеал копредставления ( х: г) как k - u элементарный идеал матрицы Александера этого копредставления. В силу теоремы (4.2) можно, конечно, вычислять элементарные идеалы копредставления, исходя из матриц, эквивалентных матрице Александера. [19]
Наименьший главный идеал, содержащий данное конечное множество элементов, является наименьшим главным идеалом, содержащим идеал, порожденный этими элементами. Следовательно, как следствие предложения (2.11) и определений полиномов узла Дл и элементарного идеала Ek мы получаем следующую характеристику полиномов узла. [20]
Для каждого из пяти узлов, описанных в упражнении 1 к гл. Вычислить элементарные идеалы и полиномы этих узлов. [21]
Важность теоремы Титце состоит в том, что она сводит проверку того, что заданная функция на копредстав-лениях групп зависит только от самих групп, к проверке тогд, что функция не меняется операторами Титце I и II. Так как будет показано, что копредставления, отличающиеся лишь на два оператора Титце, определяют изоморфные последовательности идеалов, то мож но будет сделать вывод, что элементарные идеалы являются групповыми инвариантами. [22]
Полигональный узел - это такой узел, который является объединейием конечного числа замкнутых прямолинейных отрезков, называемых сторонами. Концы этих отрезков называются вершинами узла. Узел называется ручным, если он эквивалентен полигональному узлу. В противном случае он называется диким. Различие между ручными и дикими узлами имеет первостепенную важ-ность. Действительно, большая часть теории узлов, развитой в этой книге, применима ( в данной формулировке) только к ручным узлам. Важнейшие инварианты типов узлов, а именно элементарные идеалы и полиномы узлов, определить для диких узлов, вообще говоря, нельзя. Более того, их вычисление основано на полигональном предста-влении, которое используется как отправная точка. Тот факт, что теория узлов в основном ограничивается изучением полигональных узлов, может показаться неожиданным, особенно читателю, который подходит к изучению узлов с точки зрения высокой степени общности теоретико-множественной топологии. [23]
Элементарные идеалы, определенные для любого конечного копредставления, являются обобщениями полиномов узла, которые мы определим в следующей главе для копредставлений групп узлов. Имеется несколько преимуществ введения идеалов раньше полиномов. Прежде всего, в то время как идеалы определяются для произвольного конечного копредставления группы, полиномы существуют и единственны только для более ограниченного класса групп, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям. В следующей главе мы обсудим эти условия и покажем, что всякая группа ручного узла удовлетворяет им. Поскольку полиномы можно охарактеризовать в терминах идеалов, мы убиваем здесь сразу двух зайцев. Наконец, даже в тех случаях, когда полиномы существуют, идеалы содержат большую информацию. VIII описаны два узла, которые не различаются полиномами, но имеют разные элементарные идеалы. [24]