Cтраница 2
Тогда получится, что каждый левый идеал содержит некоторый элемент а, все левые кратные qa которого и составляют данный левый идеал; то же верно и для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными aq некоторого элемента о - Двусторонний же идеал содержит порождающий его элемент а, на который все остальные элементы идеала делятся как слева, так и справа. Если этот вывод применить, в частности, к единичному идеалу, то отсюда сразу получится существование в кольце правой единицы, левой единицы и, значит, просто единицы. [16]
В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый ненулевой простой идеал делится только на себя и на о; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так как каждый идеал а Ф о делится на некоторый простой идеал, не равный о ( доказательство: найдем среди делителей идеала а, не равных Р, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазираьным о. Тем самым единичный класс состоит из одного лишь единичного идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 -что равносильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной здесь теории. [17]
В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый ненулевой простой идеал делится только на себя и на о; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так как каждый идеал а Ф о делится на некоторый простой идеал, не равный о ( доказательство: найдем среди делителей идеала а, не равных о, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазираьным о. Тем самым единичный класс состоит из одного лишь единичного идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 -что равносильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной здесь теории. [18]
Тогда получится, что каждый левый идеал содержит некоторый элемент а, все левые кратные qa которого и составляют данный левый идеал; то же верно и для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными aq некоторого элемента а. Двусторонний же идеал содержит порождающий его элемент а, на который все остальные элементы идеала делятся как слева, так и справа. Если этот вывод применить, в частности, к единичному идеалу, то отсюда сразу получится существование в кольце правой единицы, левой единицы и, значит, просто единицы. [19]
Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей и можно доказать наличие некоторого свойства Е у каждого идеала л ( в частности, у единичного идеала) в предположении, что это верно для всех собственных делителей идеала л, то свойством Е обладает каждый идеал данного кольца. [20]
Если в кольце о имеет место теорема о цепях делителей и можно доказать наличие некоторого свойства Е у каждого идеала л ( в частности, у единичного идеала ] в предположении, что это верно для всех собственных делителей идеала л, то свойством Е обладает каждый идеал данного кольца. [21]
В л: а есть идеал. Два тривиальных идеала алгебры В, а именно 0 и В - оба главные. Идеал ( 0) называется нулевым идеалом, а идеал ( 1) - единичным идеалом алгебры В. [22]
Последний пример может быть обобщен. Пусть а D - произвольный отличный от нуля элемент кольца D. Ясно, что все элементы кольца D, делящиеся на а, составляют идеал. Этот идеал обозначается символом ( а) и называется главным идеалом, порожденным элементом а. При а 1 ( а также при а, являющемся произвольной единицей) мы, очевидно, получаем единичный идеал. [23]