Cтраница 1
Двойственный идеал, содержащий объединение двух элементов лишь при условии, если каждый из них принадлежит ему. [1]
Таким образом, выпуклая подструктура совпадает с пересечением идеала и двойственного идеала, о которых говорилось выше. [2]
Следовательно, заданная выпуклая подструктура содержится в пересечении того идеала и того двойственного идеала, о которых шла речь. Докажем теперь, что она совпадает с этим пересечением. [3]
Кроме того, х Л У принадлежит D, так как D - двойственный идеал. Поскольку идеал В еще не имеет общих элементов с D, то идеал В, и Л и) больше идеала В. Но это возможно лишь в том случае, если и Л v не принадлежит В, что и требовалось доказать. [4]
В общем случае при сечении структуры нижний сегмент не является идеалом, а верхний сегмент - двойственным идеалом. Если же нижний сегмент удовлетворяет определению идеала, а нижний сегмент - определению двойственного идеала, то говорят соответственно о примар-ном идеале и двойственном примар-ном идеале. Эти понятия играют весьма важную роль в теории структур. [5]
Для конечных структур это утверждение очевидно, поскольку идеал, содержащий /, можно выбрать столь большим, чтобы он еще не пересекался, но был на грани пересечения с двойственным идеалом D. Существование такого максимального идеала в случае бесконечной структуры заранее не очевидно, хотя можно доказать, что предположение о существовании максимального идеала не приводит к противоречию. [6]
Следовательно, ф ( аЛЬ) - нулевой элемент структуры из двух элементов и р ( а) Л р ( Ь) - также нулевой элемент, поскольку каждый из элементов р ( а) и р ( Ь) совпадает с нулевым элементом. Если же элементы а и ft принадлежат двойственному идеалу, то их объединение а ( Ь также принадлежит двойственному идеалу. [7]
Если / - идеал структуры, a D - двойственный идеал, не имеющий с / общих элементов, то в структуре существует такой Содержащий / и не имеющий общих элементов с D идеал В, что любой идеал, больший В, уже имеет с D по крайней мере один общий элемент. [8]
Если в определении идеала потребовать, чтобы вместе с любым своим элементом он содержал и все меньшие элементы, то отпадет необходимость в предположении о замкнутости относительно пересечения, поскольку пересечение двух элементов не больше каждого из них. Следовательно, это ( и аналогичное ему) свойство позволяют определить идеал и двойственный идеал. [9]
В общем случае при сечении структуры нижний сегмент не является идеалом, а верхний сегмент - двойственным идеалом. Если же нижний сегмент удовлетворяет определению идеала, а нижний сегмент - определению двойственного идеала, то говорят соответственно о примар-ном идеале и двойственном примар-ном идеале. Эти понятия играют весьма важную роль в теории структур. [10]
Каждый идеал можно рассмат ривать как нижний сегмент, порожденный некоторым сечением структуры. Идеал будет примарным идеалом, если верхний сегмент, порожденный тем же сечением, является двойственным идеалом. Одно из необходимых для этого условий заранее выполнено, поскольку речь идет о сечении структуры. [11]
Следовательно, ф ( аЛЬ) - нулевой элемент структуры из двух элементов и р ( а) Л р ( Ь) - также нулевой элемент, поскольку каждый из элементов р ( а) и р ( Ь) совпадает с нулевым элементом. Если же элементы а и ft принадлежат двойственному идеалу, то их объединение а ( Ь также принадлежит двойственному идеалу. [12]
Этот метод позволяет строить выпуклую оболочку произвольной подструктуры, то есть наименьшую выпуклую подструктуру, которая содержит ее. Для этого достаточно построить содержащий подструктуру идеал так, как это было сделано в решении задачи 1, а затем аналогичным способом построить содержащий ее двойственный идеал. [13]
Это означает, что подмножества, не содержащие выбранную точку, образуют идеал. Поскольку любое подмножество либо содержит, либо не содержит выбранную точку ( и точка пе может одновременно принадлежать и не принадлежать одному и тому же подмножеству), то идеал и двойственный идеал нашей структуры подмножеств будут не чем иным, как нижним и верхним сегментами, порожденными сечением множества, то есть примерным идеалом и двойственным примерным идеалом. Если подмножествам, содержащим приглянувшуюся нам точку поставить в соответствие эту точку, а подмножествам, не содержащим ее, - пустое множество, то структура подмножеств окажется гомоморфно отображенной в структуру из двух элементов, нулевым элементом которой служит пустое множество, а единичным элементом - выбранная точка. Приведенные выше рассуждения относятся к каждой точке множества, поэтому гомоморфизмы описанного выше типа позволяют определить все точки множества. Структура подмножеств иногда допускает несколько гомоморфизмов такого типа. [14]
Если элементы а и Ь принадлежат нижнему сегменту, то-так как р ( а ( J Ь фИ U ф ( Ь) О U 0 0 - объединение а и Ь также принадлежит нижнему сегменту. Если же оба элемента а и b принадлежат нижнему сегменту, то - так как ( р ( а Л Ь) р ( а) П р ( Ь) е ( е - е - и их пересечение а Л Ь также принадлежит верхнему сегменту. Следовательно, нижний сегмент является идеалом, а верхний - двойственным идеалом, что и требовалось доказать. [15]