Cтраница 2
Действительно, разобьем структуру Н на две части А и В так, чтобы они не имели общих элементов, а любой элемент из Н принадлежал какой-нибудь из них. Иначе говоря, если А и В рассматривать как подмножества структуры Я, то А является дополнением для В, а В - дополнением для А. Условие ( 2), входящее в определение идеала, выполняется для А в том и только в том случае, когда для В выполняется условие ( 2), входящее в определение двойственного идеала. А и при х: а элемент х не может принадлежать подмножеству В, поскольку в противном случае элемент а был бы из В. [16]
У) ( Х У) - Он рассматривает связи между В и интервальной топологиями. В частности, устанавливаются некоторые достаточные условия их совпадения. Ало и Фринк [70] изучают топологию идеалов, интервальную топологию и новую интервальную топологию Биркгофа на произведении структур. Псевдобазу открытых множеств топологии идеалов образуют вполне неприводимые идеалы и двойственные идеалы, базу замкнутых множеств интервальной топологии Биркгофа образуют множества, пересечения которых с любыми замкнутыми интервалами являются пересечениями конечных объединений замкнутых интервалов. Рассматривается вопрос, для каких из перечисленных топологий топология произведения структур совпадает с произведением топологий сомножителей. Этот вопрос решается положительно для топологии идеалов конечного произведения структур, для интервальной топологии произведения бесконечного множества структур с 0 и 1, для новой интервальной топологии произведения конечного числа цепей. [17]
Построить представление, о котором говорится в теореме Стоуна, можно следующим образом. Пусть задана система подмножеств некоторого множества, выбранных так, что вместе с любыми двумя подмножествами она содержит их ( теоретико-множественное) пересечение и объединение. Наша задача состоит в том, чтобы по заданным подмножествам определить точки всего множества. Во-первых, теоретико-множественное пересечение двух таких подмножеств содержит выбранную точку. Кроме того, любое подмножество, которое больше подмножества, содержащего выбранную точку, обладает тем же свойством. Это означает, что подмножества, которым принадлежит выбранная точка, образуют двойственный идеал. Во-вторых, если два подмножества не содержат выбранную точку, то она не может принадлежать пересечению этих подмножеств. [18]