Cтраница 2
Пусть L - Е Д - решетка, удовлет-воряющая условию теоремы, a J - произвольный ее замкнутый идеал. [16]
Покажем, что всякая решетка L допускает требуемое вложение в полную решетку CJ ( L) своих замкнутых идеалов и что в качестве такого вложения можно взять соответствие х - J ( х), сопоставляющее каждому элементу х L определяемый им главный идеал. [17]
Собственно метод Эстабрука - Уолквиста, как уже было описано в предыдущих главах, состоит а расширении пространства параметров za некоторым числом специально определяемых дополнительных параметров, называемых псевдопотенаиаламн, а затем в построении в этом продолженном пространстве ( отсюда - и название метода - метода продолженных структур) продолжения замкнутого идеала форм, задающих исходное уравнение. [18]
Пусть теперь Т ( t) t 0 - позитивная С0 - полугруппа на X-Замкнутый идеал J в X называется Т ( 1) - инвариантным, если / является Т ( г) - ипвариантным при всех t O, и Т ( t) называется неприводимой, если только 0 и X являются Т ( t) - инвариантными замкнутыми идеалами. Далее, Т () о называется строго неприводимой, если все операторы Т ( t), t 0, являются строго неприводимыми. [19]
Эквивалентны следующие свойства решетки L: ( 1) L полна; ( 2) L содержит наименьший [ наибольший ] элемент и всякая подрешетка решетки L имеет точную верхнюю [ нижнюю ] грань в L; ( 3) для любого изотопного отображения ф решетки L в себя найдется такой элемент aeL, что ф ( а) а; ( 4) все замкнутые идеалы [ фильтры ] решетки главные. [20]
Гильберта - Шмидта и, значит, вполне непрерывны. Вполне непрерывные операторы образуют замкнутый идеал в кольце всех ограниченных операторов. Поэтому для доказательства полной непрерывности оператора Fjfl достаточно убедиться, что последовательность операторов ФЛ по норме сходится к pjfl, когда k - оо. [21]
Таким образом, 11 является единственным максимальным идеалом, и этот идеал совпадает с радикалом. Идеалы III, определяемые аналогично конечномерному случаю, дают счетный набор различных замкнутых идеалов. Если последовательность a J k монотонна, то этим набором идеалов исчерпываются все замкнутые идеалы. В общем случае алгебра может содержать континуальное семейство различных замкнутых идеалов. [22]
С другой стороны, справедлива теорема [15]: если группа G недискретна, то G не допускает спектрального синтеза. Отсюда следует, что если G недискретна, то алгебра L1 ( G) имеет несимметричные замкнутые идеалы. [23]
Идеал замкнут тогда и только тогда, когда он является пересечением некоторого множества главных идеалов. В частности, всякий главный идеал замкнут. Замкнутые идеалы решетки L образуют полную решетку, изоморфную пополнению частично упорядоченного множества L сечениями ( ср. [24]
Если любой замкнутый идеал в L1 ( G) есть пересечение содержащих его максимальных идеалов, то говорят, что в допускает спектральный синтез. [25]
Замыкание подкольца, левого, правого или двустороннего идеала топологического кольца является под-кольцом, левым, правым или двусторонним идеалом соответственно. При этом, если подкольцо коммутативно, то коммутативно и его замыкание. Существуют непростые топологические кольца, не содержащие нетривиальных замкнутых идеалов. [26]
Вывести отсюда, что ft ( У) есть замкнутый идеал в А для каждого Y с РХ. [27]
Таким образом, 11 является единственным максимальным идеалом, и этот идеал совпадает с радикалом. Идеалы III, определяемые аналогично конечномерному случаю, дают счетный набор различных замкнутых идеалов. Если последовательность a J k монотонна, то этим набором идеалов исчерпываются все замкнутые идеалы. В общем случае алгебра может содержать континуальное семейство различных замкнутых идеалов. [28]
Таким образом, 11 является единственным максимальным идеалом, и этот идеал совпадает с радикалом. Идеалы III, определяемые аналогично конечномерному случаю, дают счетный набор различных замкнутых идеалов. Если последовательность a J k монотонна, то этим набором идеалов исчерпываются все замкнутые идеалы. В общем случае алгебра может содержать континуальное семейство различных замкнутых идеалов. [29]
Приведем некоторые результаты, связанные с неприводимыми полугруппами. Пусть задан положительный линейный оператор Т из X в себя. Замкнутый идеал J вХ называется Т - инвариант-ным, если Т ( J) a J. Оператор называется неприводимым, если в X только 0 и X являются Г - инвариантными замкнутыми идеалами. Кроме того, оператор Т называется строго неприводимым, если Ти является квазивнутренним элементом для каждого 0 i и 6 X. Ясно, что строго неприводимый оператор является неприводимым. [30]