Cтраница 1
Произвольный левый идеал J кольца К наделен естественной структурой - модуля с действием ( х у) н - - ху, х Е К, у Е J, индуцированным операцией умножения в К. В случае J К кольцо К рассматривается как модуль кК над собой. Этот взгляд на К приводит к плодотворным результатам. [1]
Всякий левый идеал кольца R является / - модулем; он называется простым, если он прост как модуль. Два идеала L, L называются изоморфными, если они изоморфны как модули. [2]
Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых идеалах кольца о. Поэтому достаточно показать, что 8 либо равно с, либо является модулярным и максимальным идеалом в о. При фиксированных b и 8 каждому элементу к кольца о соответствует некоторое произведение xb и, следовательно, вполне определенный класс вычетов xb - - 1 по модулю И. Это отображение является гомоморфизмом модулей. [3]
Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых идеалах кольца с. Это отображение является гомоморфизмом модулей. [4]
В примере 13 § 8 мы видели как выглядят левые идеалы кольца ftMn ( D), где D - тело. Любой левый идеал этого кольца имеет вид к / 06, aV 0, где а рассматривается как линейное ( над D) преобразование - мерного векторного пространства L над телом D, a V - некоторое его линейное подпространство. Простые подмодули соответствуют минимальным идеалам. [5]
Необходимым и достаточным условием для выполнения условий минимальности и максимальности для левых идеалов кольца о является существование композиционного ряда из таких идеалов. [6]
Необходимым и достаточным условием для выполнения условий минимальности и максимальности для левых идеалов кольца с является существование композиционного ряда из таких идеалов. [7]
Доказательство, ( а) Пусть У - сумма всех квази регулярных левых идеалов кольца R. R операцию хОу ух и применяя теорему 1, убеждаемся, что J - двусторонний квазирегулярный идеал. Переход к инверсному кольцу позволяет доказать обратное включение. [8]
Особенно важным представлением алгебры является регулярное представление, которое получается, когда сама алгебра о берется в качестве модуля представления, на который о действует слева, а Р - справа. Подмодулями здесь служат левые идеалы кольца о. Регулярное представление вполне приводимо, если вполне приводимым слева является само кольцо. [9]
О-изо-морфна никакому из простых левых идеалов колец R, а это и доказывает то, что нам было нужно. [10]
Предположим, что для всякого левого идеала J кольца А любой гомоморфизм р: У - Q может быть продолжен до гомоморфизма А в Q. [11]
Выше было замечено, что кондуктор / подкольца Л в В отличен от нуля, и поэтому случай ( i) следует из предложения 1.2. Пусть имеет место случай ( п); представим В в виде fi 2 Mi ] S a / c - 1 т е - Bc Aat. Следовательно, с лежит в кондукторе и подсказанному 1 Вс - большой левый идеал кольца В; кроме того, / Л ВсА У Лд Л 2аИ - конечно порожденный правый идеал кольца А. [12]
Понятно, что это определение согласуется с определением кондуктора в коммутативном случае. На самом деле / является наибольшим идеалом кольца Л, являющимся в то же время левым идеалом кольца В. Если Л - левое и одновременно правое кольцо Оре, то / является большим левым идеалом кольца В; более того, любой ненулевой главный левый идеал из В, содержащийся в /, является большим в В. [13]
К 5, - где К - максимальный среди подмодулей, не содержащих однородных ( см. стр. Нэстэсеску и Попеску [288, 289] доказали, что слагаемое / С отсутствует во всех Л - модулях тогда и только тогда, когда каждый левый идеал кольца Л или Л - непри-водим, или представляется в виде пересечения двух Л - неприво-димых. [14]
Понятно, что это определение согласуется с определением кондуктора в коммутативном случае. На самом деле / является наибольшим идеалом кольца Л, являющимся в то же время левым идеалом кольца В. Если Л - левое и одновременно правое кольцо Оре, то / является большим левым идеалом кольца В; более того, любой ненулевой главный левый идеал из В, содержащийся в /, является большим в В. [15]