Cтраница 2
Прямая сумма модулей оказывается плоской тогда и только тогда, когда плоскими являются все слагаемые. D / A оказывается плоским тогда и только тогда, когда AL A ] DL для любого конечно порожденного левого идеала L кольца У. Конечно представимъш плоский модуль проективен. Плоские абелевы группы - это в точности абелевы группы без кручения. [16]
Упомянем еще работу Тахикавы [25], в которой приводятся условия, необходимые и достаточные для того, чтобы всякий неразложимый правый модуль над данной конечномерной алгеброй имел единственный максимальный подмодуль, и работы Бе-рейса [26-28], исследовавшего кольца с условием минимальности для левых идеалов, обладающие точным модулем с дистрибуртив-ной структурой подмодулей. Интересны также результат Дугласа [29]: абелева группа G является группой без кручения ранга р тогда и только тогда, когда для всякого G-модуля М при / гр имеет место Нп ( G, М) 0, но Нр ( G, М0) 0 для некоторого G-модуля М0, и теорема Ишикавы [30]: область целостности является деде-киндовым кольцом тогда и только тогда, когда всякий полный модуль над ней инъективен. Между прочим, для инъективности всякого левого Л - модуля, полного в смысле Хаттори ( см. выше), достаточно, чтобы все левые идеалы кольца Л были главными. [17]
К числу таких свойств относятся: 1) нильпотентность; 2) полупервичность; 3) удовлетворять левому [ правому ] условию Оре; 4) примитивность всех первичных двусторонних идеалов; 5) быть Pi-кольцом. Если R полупервично, то к этому списку можно присоединить: 6) быть классически полупростым кольцом; 7) быть левым [ правым ] кольцом Голди; 8) левая [ правая ] нетеровость; 9) разлагаться в конечную прямую сумму простых колец. При тех же ограничениях на группу G кольцо R оказывается артиновым [ нетеровым ] слева тогда и только тогда, когда R удовлетворяет условию минимальности [ максимальности ] для G-инвариант-ных левых идеалов кольца R. Аналогичный результат справедлив для правых и двусторонних идеалов. Включения превращаются в равенства, если G обратимо в R ( см. [93], § 2; [208], § 10.5; [216], гл. [18]
Прямая сумма модулей оказывается плоской тогда и только тогда, когда плоскими являются, все слагаемые. Если А - подмодуль плоского правого R-мо-дуля D, то фактормодуль D / A оказывается плоским тогда и только тогда, когда AL A ( ] DL для любого конечно порожденного левого идеала L кольца R. Конечно представимый плоский модуль проективен. Плоские абелевы группы - это в точности абелевы группы без кручения. [19]
К числу таких свойств относятся: 1) нильпотентность; 2) полупсрвичность; 3) удовлетворять левому [ правому ] условию Оре; 4) примитивность всех первичны к двусторонних идеалов; 5) быть Pi-кольцом. Если R полупервично, то к этому списку можно присоединить: 6) быть классически полупростым кольцом; 7) быть левым [ правым ] кольцом Голди; 8) левая [ правая ] нетеровость; 9) разлагаться в конечную прямую сумму простых колец. При тех же ограничениях на группу G кольцо R оказывается артиновым [ нетеровым ] слева тогда и только тогда, когда R удовлетворяет условию минимальности [ максимальности ] для G-инвариант-ны - левых идеалов кольца R. Аналогичный результат справедлив для правых и двусторонних идеалов. Включения превращаются в равенства, если G обратимо в R ( см. [93], § 2; [208], § 10.5; [216], гл. [20]
Ряд работ посвящен другим обобщениям квазифробениусовых колец. Эти кольца характеризуются, в частности, тем, что любой точный проективный модуль является образующим категории всех модулей. Ософская [299] рассматривает кольцо Л, являющееся инъективным кообразую-щим категории всех Л - модулей, и доказывает, что такое кольцо разлагается в прямую сумму неразложимых левых идеалов, а факторкольцо Л / / ( Л) оказывается артиновым. Высказанное свойство кольца Л равносильно любому из следующих: 1) Л - самоинъективно, Л / / ( Л) артиново, каждый ненулевой левый идеал кольца Л содержит минимальный; 2) Л / / ( Л) артиново и каждый точный Л - модуль является кообразующим; 3) Л самоинъективно и правый аннулятор любого максимального левого идеала отличен от нуля; 4) Л - инъективныи кообразующий. Като [211] показал, что кольцо Л является самоинъектив-ным оправа и слева кольцом, удовлетворяющим аннуляторным условиям для левых и правых идеалов, тогда и только тогда, когда все правые и левые циклические Л - модули рефлексивны ( см. [42], стр. Там же выясняется связь аннуляторных условий с рефлексивностью циклических модулей. Ко и Чандлер [100] исследуют возможность продолжения любого гомоморфизма /: С - Л, где С - циклический подмодуль свободного Л - модуля F до гомоморфизма f: F - A, а также связи этого условия с аннуля-торными условиями и со свойствами самоинъективных колец. В работах Жентиля [155] и Кайе ( 215 ] доказано, что самоинъективность сохраняется при переходе к кольцу м атриц. [21]
СЕ R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, как вытекает из закона дистрибутивности. Мы получили пример операторной группы, в которой различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Взяв в кольце R левые умножения, мы пэиходим к еще одной возможности рассматривать аддитивную группу кольца как Л - опера-торную; допустимыми подгруппами будут при этом левые идеалы кольца. [22]
R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, как вытекает из закона дистрибутивности. Мы получили пример операторной группы, в которой различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Взяв в кольце R левые умножения, мы пэиходим к еще одной возможности рассматривать аддитивную группу кольца как Д - опера-торную; допустимыми подгруппами будут при этом левые идеалы кольца. Наконец, объединяя эти две системы операторов, мы придем к такой системе операторов для аддитивной группы кольца R, что допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы этого кольца и только они. [23]
Участок этого композиционного ряда от [ до 0 имеет длину т п; число т называется длиной идеала I. В каждом ( непустом) множестве левых идеалов существует левый идеал I наименьшей длины. Он является минимальным в данном множестве, так как любой идеал I, собственным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину. Следовательно, для левых идеалов кольца о выполнено условие минимальности. [24]
Участок этого композиционного ряда от [ до 0 имеет длину т п; число га называется длиной идеала I. Любой собственный подидеал С идеала [ имеет меньшую длину, потому что и I и С можно включить в некоторый композиционный ряд. В каждом ( непустом) множестве левых идеалов существует левый идеал [ наименьшей длины. Он является минимальным в данном множестве, так как любой идеал С, собственным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину. Следовательно, для левых идеалов кольца о выполнено условие минимальности. [25]