Cтраница 2
Если К - ядро полугруппы S, то в К кет не только строго содержащихся в нем идеалов полугруппы S, но и идеалов самой полугруппы / С; если при этом К есть группа, то полугруппу S называют гомогруппой. S является левым и правым делителем. В этом случае ядро S состоит из всех зероидных элементов. Всякая конечная полугруппа, разумеется, имеет ядро; конечная коммутативная полугруппа будет гомогруппой. Если полугруппа S обладает минимальным левым идеалом L, то: 1) для любого JteS произведение Lx также будет минимальным левым идеалом, причем всякий минимальный левый идеал может быть получен таким способом; 2) каждый минимальный левый идеал не содержит своих собственных левых идеалов; 3) каждый левый идеал содержит некоторый минимальный левый идеал; 4) объединение всех минимальных левых идеалов ( образующих, очевидно, россыпь полугруппы S) будет ядром S. Разумеется, верны утверждения, двойственные к только что перечисленным. [16]
Если К - ядро полугруппы S, то в К кет не только строго содержащихся в нем идеалов полугруппы S, но и идеалов самой полугруппы / С; если при этом К есть группа, то полугруппу S называют гомогруппой. S является левым и правым делителем. В этом случае ядро S состоит из всех зероидных элементов. Всякая конечная полугруппа, разумеется, имеет ядро; конечная коммутативная полугруппа будет гомогруппой. Если полугруппа S обладает минимальным левым идеалом L, то: 1) для любого JteS произведение Lx также будет минимальным левым идеалом, причем всякий минимальный левый идеал может быть получен таким способом; 2) каждый минимальный левый идеал не содержит своих собственных левых идеалов; 3) каждый левый идеал содержит некоторый минимальный левый идеал; 4) объединение всех минимальных левых идеалов ( образующих, очевидно, россыпь полугруппы S) будет ядром S. Разумеется, верны утверждения, двойственные к только что перечисленным. [17]
Если К - ядро полугруппы S, то в К кет не только строго содержащихся в нем идеалов полугруппы S, но и идеалов самой полугруппы / С; если при этом К есть группа, то полугруппу S называют гомогруппой. S является левым и правым делителем. В этом случае ядро S состоит из всех зероидных элементов. Всякая конечная полугруппа, разумеется, имеет ядро; конечная коммутативная полугруппа будет гомогруппой. Если полугруппа S обладает минимальным левым идеалом L, то: 1) для любого JteS произведение Lx также будет минимальным левым идеалом, причем всякий минимальный левый идеал может быть получен таким способом; 2) каждый минимальный левый идеал не содержит своих собственных левых идеалов; 3) каждый левый идеал содержит некоторый минимальный левый идеал; 4) объединение всех минимальных левых идеалов ( образующих, очевидно, россыпь полугруппы S) будет ядром S. Разумеется, верны утверждения, двойственные к только что перечисленным. [18]
Покажем, что на самом деле правый идеал aR минимален. Множество y R: ay R непусто, так как для любого х е R найдется такой у е R, что х ау. Это множество тоже является правым идеалом. Отсюда вытекает равенство aR R, которое устанавливает минимальность правого идеала aR и одновременно тот факт, что объединение / всех минимальных правых идеалов из S является левым ( и потому двусторонним) идеалом. Если / - произвольный идеал в S, то R-J Е R П / R - Из минимальности R следует R П / R, откуда R Е J. Это доказывает, что / является минимальным идеалом в S. Наконец, для произвольного минимального левого идеала L рассмотрим множество 0 RL, которое содержится в R Л L. [19]