Cтраница 2
Учитывая ортогональность идемпотентов et, нетрудно подсчитать, что е е и е е d для каждого i. Согласно лемме найдется простой идемпо-тент / е ( 1 - e R. [16]
Выяснить, какие из основных семи свойств имеют место. Имеются ли единица и нуль. Какие из элементов R являются идемпо-тентами. [17]
Свойство полугруппы S быть вполне простой эквивалентно, кроме соответствующих версий вышеприведенных условий ( 2) - ( 4), каждому из условий: ( 5) 5 есть прямоугольная связка ( необходимо изоморфных друг другу) групп; ( 6) S регулярна и все ее идемпотенты примитивны. В силу ( 5) всякая вполне простая полугруппа клиффордова. Полугруппы, в которых все подполугруппы совпадают со своими идеализаторами, - это в точности периодические вполне простые полугруппы. Идеально ( и, автоматически, вполне) простые полугруппы идемпо-тентов - это в точности прямоугольные полугруппы. [18]
Напомним, что кольцо R называется совершенным, если каждый Д - модуль обладает проективной оболочкой ( см. [ 4, с. Всякое артиново кольцо совершенно и полупримарно. Согласно [ 4, следствия 11.6.2 ( с) и 11.4.3 ] ( для коммутативного случая) совершенное кольцо R есть прямая сумма локальных колец, и в силу [ 4, теорема 11.6.3 ( 5) ] радикал кольца R является ниль-идеалом. Если R - коммутативное полупримарное кольцо, то R / J ( R) есть прямая сумма конечного числа полей. Так как идемпо-тенты ( и прямые суммы) могут быть подняты по модулю любого ниль-идеала ( см. [ 17, предложение 18.21 ]), то R есть прямая сумма локальных колец с нильпотентными радикалами. Таким образом, коммутативные совершенные и полупримарные кольца являются прямыми суммами вполне примарных колец. Ввиду теоремы 13 ( 6) и предложения 15 отсюда следует, что любая fc - ЛРП над Д - модулем М, где R совершенно или полупримарно, обладает биномиальным представлением. [19]