Cтраница 2
Для численного решения краевых задач применяют метод стрельбы и разностный метод. Метод стрельбы основан на сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы уравнений. В случае нелинейных задач оба метода являются итерационными; при этом построение хорошо сходящихся итерационных процессов само оказывается достаточно сложным. [16]
В этой главе описывается наиболее известная схема построения конкретных регуляризирующих алгоритмов. От нее и начался, по существу, современный этап развития численных методов решения некорректно поставленных задач Рассматриваемые ниже конструкции в линейном случае непосредственно приводят к легко реализуемым на ЭВМ численным алгоритмам, широко используемым на практике. В случае нелинейных задач схема Тихонова также служит идейной основой построения эффективных численных алгоритмов. [17]
Эти 0j используются в качестве новых приближенных значений для вычисления новых величин г / ыч, которые должны лучше согласовываться с наблюдаемыми величинами, чем предыдущие. Это согласие, однако, может оказаться еще не столь хорошим, как требуется, и тогда вся процедура повторяется снова. Если исходная задача, решаемая методом наименьших квадратов, линейная, то уже на первом этапе решение нормальных уравнений дает искомый результат. В случае нелинейной задачи необходимо использовать итерационную процедуру, в процессе которой получаются новые значения параметров, и, следовательно, производные и конструкционная матрица будут изменяться. Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока изменения параметров не станут крайне малыми или равными нулю. При этом говорят, что итерационная процедура в методе наименьших квадратов сходится. Последовательное приближение к наилучшему решению иногда называют уточнением параметров. [18]
Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях в которых условие устойчивости не выполняется. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались. [19]