Cтраница 2
В случае переменных коэффициентов, зависящих от ха, мы не можем, конечно, надеяться совершить такое преобразование к нормальной форме при помощи линейного преобразования переменных и должны пользоваться более общими преобразованиями, но даже и при этом мы сможем решить задачу лишь для случая двух независимых переменных. [16]
Некоторые аспекты изложенной в разделе 6.7 шаудеровской теории задачи с косой производной отличаются от известных ее вариантов. В случае переменных коэффициентов установленные им оценки шаудеровского типа демонстрируют точную зависимость от границ изменения коэффициентов и их постоянных Гельдера. Эта зависимость использована в [147], гл. [17]
Оказывается, что в случае переменного коэффициента распределения существенным является знак кривизны кривой равновесия. [18]
В первой части книги изучаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Часть результатов допускает обобщение на случай переменных коэффициентов, если рассматривать гиперболические уравнения в римановых пространствах и заменить условно однородности оператора условием его конформной инвариантности ( см. [ 6 1, гл. [19]
Выбирая в качестве / волновые пакеты вроде / e - sx е ( х ], можно использовать при больших k приближенное решение и - f / ffm ( k) - Быстрое убывание и при k - ос гарантирует почти конечномерность задачи. Из-за этого теория эллиптических уравнений и краевых задач даже и в случае переменных коэффициентов почти столь же близка к конечномерной линейной алгебре, как и соответствующие теории для оператора Лапласа, с которыми мы познакомились выше. [20]
В § 3 ( см. пример 5) мы рассмотрели неявную разностную схему для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом и установили, что спектральный признак устойчивости выполнен при любом отношении r / h2 г шагов сетки по времени и пространству. В силу принципа замороженных коэффициентов спектральный признак не накладывает ограничений на шаги сетки и в случае переменного коэффициента теплопроводности. Это делает неявную схему пригодной и в тех случаях, когда a ( x, t) в отдельных местах принимает очень большие значения. [21]
Рассматривается задача о распределении температуры в поглощающей среде, окружающей абсолютно черную сферу. Выведено интегральное уравнение для определения распределения температуры как в случае постоянного, так и в случае переменного коэффициента поглощения. Кроме случая неограниченной среды, рассмотрен случай среды, ограниченной извне сферической границей, на которую падает излучение заданной интенсивности. Приведено исследование решений интегральных уравнений и рассмотрены некоторые предельные случаи последних. [22]
Изложим широко применяемый способ Неймана исследования разностных задач с начальными данными. В этом параграфе ограничимся случаем разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, а в § 4 частично распространим результаты на случай переменных коэффициентов и смешанных задач. [23]
При переменном коэффициенте распределения возникают известные трудности для определения минимального соотношения подач сплошной и дисперсной фаз, при котором еще возможно полное извлечение из дисперсной фазы для достаточно большой высоты колонны. Кроме того, заранее неясно, может ли быть достигнуто полное насыщение ( извлечение) одновременно по обеим фазам для случая переменного коэффициента распределения. [24]
Другая формулировка условия: всякая действительная характеристическая относительно Р ( D) плоскость должна быть простой характеристикой. Условие () является необходимым и достаточным для доминирования A ( D) по отношению к произвольному оператору меньшего порядка. В случае переменных коэффициентов условие принадлежности A ( D) к главному типу формулируется обычно с помощью специальных неравенств, оценивающих производные функций с компактным носителем через значения оператора. [25]
В большинстве практически интересных задач коэффи - циент D является переменным. Это приводит к дальнейшему усложнению задачи. Мы рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая переменного коэффициента диффузии для линейных задач. [26]
В большинстве практически интересных задач коэффициент D является переменным. Это приводит к дальнейшему усложнению задачи. Мы рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая переменного коэффициента диффузии для линейных задач. [27]
В большинстве практически интересных задач коэффициент D является переменным. Это приводит к дальнейшему усложнению задачи. Мы рассмотрим три наиболее час го встречающихся случая переменного коэффициента диффузии для линейных задач. [28]
Использование рядов и ( или) преобразования Фурье в теории уравнений с постоянными коэффициентами всегда было тесно связано с разделением переменных; такой анализ Фурье применялся еще Даниилом Бернулли на заре математической физики. При современном подходе анализ Фурье, в частности теорема Планшереля, используется для получения оценок решений уравнений с постоянными коэффициентами в пространстве или полупространстве при замораживании коэффициентов и ( если есть граница) при распрямлении границы в общих задачах. Соединение полученных при этом оценок дает оценки в случае переменных коэффициентов. [29]
В частности, этого можно достичь, применяя разностные схемы повышенного порядка точности. Однако такие схемы целесообразно строить лишь для уравнений с постоянными коэффициентами, поскольку в случае переменных коэффициентов схемы высоких порядков приводят к трудоемким алгоритмам. [30]