Cтраница 2
Обобщая первую формулу Грина (1.73) на случай бесконечных областей и функций, регулярных на бесконечности, можно показать, что и для внешней задачи Неймана выполняется единственность решения в классе гармонических функций, регулярных на бесконечности. [16]
Несобственные двойные интеграл ы, а) Случай бесконечной области. [17]
До сих пор мы предполагали, что в случае бесконечной области главный вектор ( X, Y) внешних усилий, приложенных к контуру L и значения напряжений на бесконечности равны нулю; мы считали также равным нулю вращение на бесконечности. [18]
Мы считали, кроме того, что в случае бесконечной области главный вектор ( X, У) равен нулю. [19]
Сходным образом решаются задачи теории упругости: и в случае бесконечной области. Здесь мы заметим только, что условие ( 3) не необходимо, если область D-бесконечная. [20]
Предыдущие формулы относятся как к случаю конечной, так и к случаю бесконечной области. Однако в случае бесконечной области им можно придать несколько иной вид, более удобный для нашей цели. [21]
Будем, далее, предполагать ( временно), что в случае бесконечной области не только напряжения, но и смещения остаются ограниченными на бесконечности. Это равносильно ( см. § 36) предположению, что напряжения равны нулю на бесконечности, что главный вектор внешних уси лий, приложенных к границе, равен нулю и что равно нулю вращение на бесконечности. [22]
Значит, область S должна быть в этом случае конечной; о случае бесконечной области см. в конце параграфа. [23]
Ка ланд и я [1] Решение основной / z - гармонической задачи в случае бесконечной области, Тр. [24]
При доказательстве мы будем считать, что рассматриваемая область S конечна, так как распространение доказательства на случай бесконечной области никаких затруднений не представляет. [25]
Введем для области Q коэффициент ай, равный 1 в случае конечной области, - 1 в случае бесконечной области с конечной границей, 0 в случае полубесконечной области. [26]
На том же основании формулы ( 8) и ( 9) нельзя применять без каких-либо ограничений к случаю бесконечной области, так как определение вспомогательной функции может оказаться невозможным. [27]
Теоремы единственности для нашего случая легко доказываются способом, вполне аналогичным тому, который был изложен в § 40 для случая бесконечной области. В нашем случае следует применить интегральную формулу ( 4) § 40 к области, ограниченной отрезком АВ границы и полуокружностью АСВ ( рис. 45), и затем перейти к пределу, когда А и В уходят в бесконечность в противоположные стороны. Указанное доказательство непосредственно применимо к случаю, когда компоненты смещений и напряжений непрерывны вплоть до границы, не считая бесконечно удаленной точки, где они ведут себя согласно принятым выше условиям. [28]
В примерах задач Дирихле (1.69) и Неймана (1.185) для уравнения Лапласа (1.67) ( впрочем, эти задачи могут быть рассмотрены как в случае конечной области Z) D с Еп, так и в случае бесконечной области D - - С ( D U dD) с Ея с границей дБ размерности га - 1) носителем данных является вся ( ге - 1) - мерная граница 3D области D, в которой ищется решение. Именно поэтому эти задачи принято называть краевыми ( или граничными) задачами. [29]
Выше упоминались работы Г.В. Колосова, Инглиса, Н.И. Мусхелишвили, Вольфа, Нейбера [1], Вестергарда [1, 2], Снеддона [1-3], Ирвина [3-5, 7, 9] и др. В этих работах был рассмотрен широкий круг задач, относящихся к случаю бесконечной области, ослабленной одной или несколькими трещинами. [30]