Cтраница 2
Пусть исходная система имеет полный ранг. Тогда и симметричная система span ( /, д) имеет полный ранг, следовательно, является вполне управляемой. Поэтому в случае полного ранга исходная система (8.5) вполне управляема. [16]
В случае ранга 3 система ( 2) имеет только тривиальное решение v0 0 0; следовательно, линия ранга 3 вовсе не имеет двойных точек. В случае ранга 2 система ( 2) допускает одно и только одно нетривиальное решение ( л: 0: yQ: г0); следовательно, лания ранга 2 имеет одну и только одну двойную точку. Наконец, в случае ранга 1 система ( 2) равносильна любому из составляющих ее уравнений, у которого не все коэффициенты равны нулю; следовательно, линия ранга 1 имеет целую прямую двойных точек. Сопоставляя эти результаты с теоремой 2, заключаем, что линия второго порядка имеет ранг 3, если она - нераспадающаяся, ранг 2, если она распадается на пару различных прямых, и ранг, если она распадается на пару совпадающих прямых. [17]
В конце 80 - х г.г. И.Р.Шафаревич обратил внимание на то что остается совершенно открытым вопрос об описании рациональных отображений поверхностей типа КЗ, в то время, как теорема Торелли дает полное описание самих поверхностей. Иначе говоря, вопрос стоит в выяснении того, как восстановить категорию поверхностей типа КЗ из категории решеток периодов и морфизмов между ними. Более точно, рациональное отображение поверхностей определяет ортогональный морфизм ( изогению) рациональных структур Хо-джа, соответствующих трансцендентным циклам, и задача состоит в определении тех изогений, которые отвечают рациональным отображениям исходных поверхностей. Для случаев ранга 2 и 3 было показано ( совместно с В.В.Никулиным), что отображения поверхностей описываются изогениями рациональных структур Ходжа. [18]