Cтраница 2
Для конечномерных X вопрос 6 таком представлении выяснен полностью. Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов с симметричным ядром. Однако при переходе к простейшим некомпактным шшратррам возникли трудности, связанные с самим опре-доден ием спектра. С шь мощью этих понятий выяснено, как придавать разумный смысл нек-рым функциям от операторов. [16]
В этих условиях неподвижная точка есть, но инвариантных отрезков, вообще говоря, нет. Поэтому ясно, что обобщение на бесконечномерный случай, если такое обобщение можно указать, не может быть основано иа непосредственном применении принципов неподвижной точки типа принципа Шаудера или принципа Тихонова - нужны новые топологические теоремы. [17]
Классическая теорема Радемахера утверждает, что липшицево отображение F: Мп - lRk почти всюду имеет дифференциал Фреше. Этот результат не распространяется прямо на бесконечномерный случай. Однако теорема Радемахера может быть переформулирована ( в конечномерном случае) эквивалентными способами, допускающими бесконечномерные обобщения. Здесь мы обсудим одну из таких возможностей. Доказательство следующей теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 5.8.7 ниже. [18]
Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат. А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоординатной форме. [19]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ - часть современного математического анализа, основной целью к-рой является изучение функций i / f ( x), где, по крайней мере, одна из переменных х, у меняется по бесконечномерному пространству. Их теория является по существу обобщением линейной алгебры на бесконечномерный случай. [20]
Число членов последовательности равно размерности пространства. В этом представлении обобщение теории конечномерных линейных векторных пространств на бесконечномерный случай сравнительно просто. [21]
В диссертации Мак-Линдена впервые для седловых функций строится теория двойственности таких операций, как сложение, экстремальная конволюция и взятие образа при линейном отображении. Теория сопряженных эквивалентных классов замкнутых седловых функций была распространена Рокафелларом [29] на бесконечномерный случай, а в работах Госсеса [1] и Рокафеллара [24] рассматривались субдифференциалы таких функций. [22]
Существует несколько способов доказательства теоремы о неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай. [23]
Все предыдущее очевидным образом переносится на произведение произвольного конечного числа пространств с мерой. Представляется интересным бесконечномерный случай, который мы исследуем с несколько более общей точки зрения. [24]
Гильбертово пространство есть функциональное пространство квадра-тической сходимости в среднем. С геометрической точки зрения нормированные пространства являются обобщением на бесконечномерный случай пространств Минковского, подобно тому как пространство Гильберта является обобщением евклидова пространства. Банаха особо отметим С. [25]
Такие многообразия предпочтительнее, чем конечномерные. Действительно, оказывается, что изложение ощутимо выигрывает от систематического изгнания беспорядочного употребления локальных координат. Они заменяются тем, для чего они нужны, а именно изоморфизмом открытого подмножества многообразия на открытое подмножество банахова пространства ( локальная карта) и локальным анализом, который более силен и так же легок в формальном использовании. В большинстве случаев конечномерные доказательства с самого начала распространяются на бесконечномерный случай. Более того, при изучении дифференциальных форм нужно знать только определение полилинейного непрерывного отображения. Оргия полилинейной алгебры в стандартном изложении происходит от ненужной двойной дуали-зации и злоупотребления тензорным произведением. [26]
Мы не доказываем этого подробно, так как в действительности нам придется прибегать к более сильному результату - теореме Тома об изотопии, для которой мы не ввели нужной техники. Она утверждает не просто то, что трансверсальность является устойчивым свойством, но что сами трансверсальные пересечения устойчивы. Подходящими заменами координат в R и в рассматриваемых подмногообразиях любой достаточно близкий сосед данного трансверсального пересечения может быть приведен в точности к тому же самому виду. Из известных нам доказательств этой теоремы наиболее привлекательно доказательство, данное у Абрахама и Роббина [17]: строгое доказательство, охватывающее и бесконечномерный случай сделано там, благодаря элегантным бескоординатным обозначениям, чрезвычайно геометричным. [27]
Гомоморфизмом векторных пространств ( по аналогии с гомоморфизмом групп) мы называем однозначное отображение, сохраняющее операции. Во многих приложениях интерес представляют главным образом конечномерные векторные пространства. Не боясь тяжелых последствий, мы можем на время вообще забыть о бесконечномерных векторных пространствах, поскольку значительная часть понятий и методов, излагаемых ниже для конечномерных векторных пространств, без труда переносится на бесконечномерный случай. [28]
В этой главе излагаются начала теории полугрупп операторов, действующ, в гильбертовом пространствеГпрн этш особо выделяются важные для приложений аспекты этой теории Как правило, мы не будем стремится к максимальной общности изложения, но довольно подробно рассмотрим специальные классы полугрупп, такие как компактные полугруппы н полугруппы Гильберта - Шмидта. Обычно теория полугрупп признается существенной частью функционального анализа; она включена во многие стандартные курсы функционального анализа, к которым при необходимости н будет отсылаться читатель. Далее, в настоящей главе показано применение теории полугрупп к уравнениям в частных производных. Тем не менее абстрактная трактовка уравнений в частных производных имеет определенные преимущества, поскольку она дает возможность прямого обобщения конечномерных моделей на бесконечномерный случай, причем соответствующий переход представляется довольно естественным, особенно в случае задач оптимального управления. Глава начинается ( § 4.1) с определении н основных свойств полугрупп. В § 4.2. приводится основная теорема Хилле - Носила - Фпллипса о порождаемое полугрупп. Днсснпативиые полугруппы и их свойства изучаются в § 4.3. Почти все полугруппы, возникающие при изучении уравнений в частных производных, рассматриваемых на ограниченных областях евклидова пространства, являются компактными. Такого рода полугруппы рассматриваются в § 4.4. равно как ч полугруппы с более содержательной структурой, такие как полугруппы Гильберта - Шмндта. [29]