Cтраница 2
Однако на этом пути возникают громадные трудности, связанные с неразвитостью теории уравнений в вариационных производных. Поэтому многие исследователи предпочитают исходить из более привычных уравнений в частных производных для различных моментных функций рассматриваемых полей. Нелинейность же исходных динамических уравнений для случайных полей приводит к тому, что в уравнение для каждой данной моментной функции входят моментные функции высших порядков. В итоге, даже для нахождения среднего поля или корреляционных функций необходимо, строго говоря, решать бесконечную иерархию зацепляющихся уравнений. [16]
Оно уже поддается распространению на бесконечномерную теорию гамильтоновых систем эволюционных уравнении. Важный частный случай пуассоновой структуры - структура Ли - Пуассона на алгебре, двойственной к алгебре Ли, изначально открытая Ли и с большим эффектом использованная позднее в геометрическом квантовании, теории представлений, механике жидкости и плазмы. При этом общем подходе к гамильтоно-вой механике законы сохранения могут возникать не только из свойств симметрии системы, но также из вырожденности самой скобки Пуассона. В конечномерной ситуации каждая однопара-метрическая гамильтонова группа симметрии позволяет нам понизить порядок системы на две единицы. В современной формулировке возможная степень редукции для многопараметрических групп симметрии дается общей теорией Марсдена и Вейнстеина, основанной на понятии отображения момента в алгебру, двойственную к алгебре Ли симметрии. В более современных работах проявляется большой интерес к системам дифференциальных уравнений, обладающим не только одной, а двумя различными ( но согласованными) гамильтоновыми структурами. Для таких бигамильтоновых систем имеются прямые рекурсивные средства построения бесконечной иерархии взаимно коммутирующих потоков ( симметрии) и соответствующих законов сохранения, указывающей на полную интегрируемость такой системы. Большинство солитонных уравнений, а также некоторые бесконечномерные вполне интегрируемые гамильто-новы системы являются на самом деле бигамильтоновыми. [17]