Cтраница 2
Для полного определения метрического поля требуется, таким образом, помимо величин / г §, задать четыре изменяющиеся от местоположения к местоположению функции fp, которые являются коэффициентами линейной дифференциальной формы, имеющими инвариантный смысл. [16]
В локальной теории поля коммутатор в правой части ( 32) исчезает вне светового конуса, благодаря чему функция 9 ( х), равная 0 при XQ 0 и 1 при XQ 0, имеет инвариантный смысл. [17]
Функция 0 ( a, 1) равна единице, когда точка 1 лежит в прошлом от поверхности сг, и равна нулю в обратном случае. Это определение имеет инвариантный смысл, если поверхность а пространственно-подобна. [18]
То же самое относится к тем величинам ( электрическому и магнитному моменту), которые в атомной теории света представляют собой электрическое и магнитное напряжения. Электрический и магнитный моменты не образуют самостоятельных реальностей, но имеют определенный инвариантный смысл лишь взятые вместе. [19]
Величина 0 ( а, 1) равна единице, если точка 1 лежит раньше сг, и нулю - в обратном случае. Эти случаи различаются знаком нормали, опущенной из 1 на ст. Ввиду времениподобного характера этой нормали приведенное определение имеет инвариантный смысл. [20]
В искривленном пространстве-времени также можно рассматривать эрмитов оператор скалярного поля ф, удовлетворяющий ковариантному волновому уравнению ф аь. Но его невозможно разложить на положительно - и отрицательночастотные составляющие, ибо в искривленном пространстве-времени положительные и отрицательные частоты не имеют инвариантного смысла. [21]
Это полезно для демонстрации того факта, что конечная сила не может ускорить материальное тело до скорости света, потому что инертность тела бесконечно возрастает при приближении у к с. Однако в действительности наличие множителя в знаменателе связано с dt, потому что нам приходится дифференцировать по длине дуги s, имеющей инвариантный смысл, а не по переменной времени t, которая теперь не более чем одна из координат. Вместо длины дуги s можно ввести более физическую величину, определив понятие собственного времени частицы. Под этим подразумевается время, измеряемое часами, движущимися вместе с частицей, а потому связанными с ее мировой линией. [22]
Рассмотрим бесконечно узкий пучок образующих горизонта событий. Отметим, что, согласно теореме Элерса - Сакса, величина ЗА ( г) не зависит от конкретного выбора локального наблюдателя, ее измеряющего, и поэтому имеет инвариантный смысл. Предположим, что в некоторой точке г о площадь сечения выбранного пучка начинает убывать, а тензор энергии-импульса, описывающий вещество и физические поля, окружающие черную дыру ( и, возможно, падающие в нее), удовлетворяет слабому энергетическому условию. Тогда, по теореме о фокусировании, образующие горизонта событий, входящие в пучок, должны пересечься при конечном значении аффинного параметра. Чтобы согласовать этот результат с теоремой Пенроуза, приходится сделать вывод, что либо имеется физическая сингулярность на горизонте и образующие горизонта попадают в нее, прежде чем начнут пересекаться, либо неверно предположение, что площадь сечения пучка образующих может начать уменьшаться. Иными словами, предположение об отсутствии сингулярностей, на которые может натолкнуться горизонт событий, совместно со слабым энергетическим условием приводят к тому, что площадь сечения пучка образующих горизонта событий не убывает со временем. Подобные ( видимые с) сингулярности называют голыми. По терминологии Хокинга такие пространства называют асимптотически предсказуемыми. [23]
Мера л определена с точностью до постоянного множителя, но из вида формулы ясно, что произвол в выборе jj, не влияет на результат. Интеграл в правой части может определяться либо покоординатно, либо непосредственно как предел интегральных сумм, представляющих собой ( с учетом множителя, стоящего перед интегралом) линейные комбинации точек пространства S с суммой коэффициентов, равной единице, и потому имеющих инвариантный смысл. Первое определение показывает существование интеграла, а второе - его независимость от выбора системы координат. [24]
Следовательно, то же верно и для пар точек или прямых на произвольной проективной плоскости. Впрочем, это прямо следует и из свойств 1) и 2) двойного отношения, установленных в конце п 6 Итак, в прямолинейной тройке точек проективной плоскости никакая из точек не разделяет две другие; поэтому понятие между на проективной плоскости не имеет инвариантного смысла. [25]
Таким образом, мы видим, что правосторонние ( s 0) безмассовые частицы описываются правосторонними твисторами, а левосторонние ( s 0) безмассовые частицы - левосторонними твисторами. Когда спиральность обращается в нуль, твистор становится изотропным и в этом случае определяет единственный световой луч, вдоль которого ЮА ( Х) обращается в нуль. Возвращаясь к (2.27), мы видим, что для этих точек х угловой момент частицы обращается в нуль, и мы можем отождествить этот световой луч с мировой линией частицы. Таким образом, при s Ф 0 частица не локализована ни в каком конформно инвариантном смысле. [26]
Форма 9 построена нами в данной системе координат. При этом следует проверить, что и в любой другой системе координат имеет место равенство дб со. Но для инвариантной дифференциальной формы, какой стала теперь форма 6, ее дифференциал по 7.226 также имеет инвариантный смысл. Поэтому равенство дб, со, полученное в исходной системе координат, справедливо и в любой другой системе координат, что и завершает, доказательство. [27]
Уравнения гравитационного поля Эйнштейна позволяют определить геометрию, если задан тензор натяжений ( источник гравитационного поля) и соответствующие граничные условия. Из уравнений поля мы можем вывести также уравнения движения пробной частицы, которые в случае слабых полей и малых скоростей сводятся к ньютоновым уравнениям движения. Эксперимент Этвеша показывает, что источником гравитационного взаимодействия является полная масса - энергия. Любое распределение материи, кроме своей энергии покоя, обладает также собственно натяжением. Понятие твердого тела не имеет инвариантного смысла, так как волна напряжений не может распространяться мгновенно. Поэтому в качестве источника в уравнениях гравитационного поля обычно берется тензор энергии - натяжений r v, включающий как одну из компонент распределение энергии. Можно, однако, взять в качестве источника скалярного поля свернутый тензор натяжений Т Г [ 1, как показано в гл. [28]
Из формул (37.14) и (37.15) следует, что как симметричная, так и антисимметричная часть тензора Т представляет собою тензор. Те же рассуждения могут быть применены к контравариантному тензору Т &. Что касается смешанного тензора Г, то его верхний и нижний значки входят в формулу преобразования (37.10) неодинаковым образом, вследствие чего разделение его на симметричную и антисимметричную часть не имеет инвариантного смысла. [29]