Cтраница 2
Метод конечных разностей ( МКР) основан на замене непрерывных функций и их производных в дифференциальных уравнениях дискретными значениями и приведении уравнений к алгебраической системе высокого порядка. Эффективность решения задач в разностной форме зависит от особенностей разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, вида краевых условий и - конфигурации области, в которой ищется решение. [16]
Первая система, которая является предметом многих исследований, - это система уравнений теории упругости. В математической физике для этой системы ставятся три основные задачи, которые отличаются друг от друга видом краевых условий. В первой задаче на границе области задаются смещения, во второй задаче - усилия, а в третьей ( смешанной задаче) - на части границы задаются усилия, а на оставшейся части - смещения. [17]
С точки зрения теоретических оценок сеточные уравнения методов конечных разностей и конечных элементов обладают сравнимыми качествами. Погрешности аппроксимаций для обоих методов исследованы примерно для одинаковых классов задач ( только в разных нормах) и имеют порядки от O ( h) до о ( №) в зависимости от гладкости членов дифференциальных уравнений, вида краевых условий и конфигурации границы. Можно, однако, отметить, что для методов конечных элементов развита более универсальная, единообразная и технологическая схема построения аппроксимаций повышенного порядка. Хотя для сложных граничных условий можно построить также конечно-разностные уравнения высокой точности, такие алгоритмы оказываются громоздкими и работы с описаниями их автоматизации практически отсутствуют. [18]
В главе III рассмотрена теория зарождения и роста центров I4 новой фазы в изотермических условиях, а также дан анализ влия - - / ния эффектов нестационарное и неизотермичности процесса. Приводятся численные решения задачи для различных) значений ее параметров и при краевых условиях, налагаемых на саму функцию распределения и на поток в пространстве размеров. Показывается, что период нестационарности процесса зависит от вида краевых условий. С помощью полученных решений рассмотрен слоистый рост кристаллов, осуществляемый путем формирования двумерных зародышей. Указывается способ учета конечной скорости тангенциального роста слоя на поверхности растущего кристалла. Приводятся результаты численного решения соответствующих уравнений. Кроме численного интегрирования основное кинетическое уравнение в его простейшем варианте может быть решено путем аналитических расчетов. Приводится специально разработанный аналитический метод решения основного кинетического уравнения и выводится формула для оценки периода нестационарности процесса. [19]
Если начальные данные имеют разрывный вид, то в разностном решении также возникает энтропийный след. Однако при наличии теплопроводности пик температуры в районе энтропийного следа со временем начинает разглаживаться. Этот процесс оказывает влияние па большую пространственную зону, нежели в адиабатической газодинамике. В результате разностное решение выходит па нужный режим заметно позже. Избежать этого в некоторой степени можно за счет изменения вида левого краевого условия в (6.12): Tjn 1T, где Т соответствует значению температуры в точном решении за фронтом ударной волны. [20]
В бурении проблема обеспечения устойчивости бурильной колонны представляет особый практический интерес. Исследование этого вопроса приводит к дифференциальному уравнению четвертого порядка. При этом для определения двух из четырех постоянных интегрирования задаются условия на верхнем конце колонны. Определение же граничных условий на нижней опоре бурильной колонны оказывается весьма затруднительным. Показано, что дефицитные граничные условия можно получить в виде естественных краевых условий из вариационных принципов. [21]
Следует добавить, что дифференциальные уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна длинной стороне пластинки, лишь значениями некоторых коэффициентов ( см. ниже) отличаются от соответствующих уравнений изгиба и устойчивости слоистых балок и стержней. Точно также уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности, аналогичны соответствующим уравнениям изгиба и устойчивости арки. Так возникают пары близких между собой систем дифференциальных уравнений, характеризующих механическое поведение существенно различных элементов конструкций. Ясно, что методы исследования краевых задач для этих близких систем уравнений одинаковы, а результаты, полученные при решении одной из них, сохраняют свое значение и для другой. Поэтому сформулированные ниже выводы о характере и степени влияния поперечных сдвигов, обжатия нормали, вида краевых условий на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости слоистых длинных пластин и панелей остаются справедливыми для балок, стержней и арок. [22]