Cтраница 3
Всякое представление радикальной алгебры записывается в некотором базисе матрицами с нулями на главной диагонали и ниже ее. При этом, конечно, не утверждается, что матрицы операторов представления пробегают всю совокупность матриц такого вида; см., например, А. [31]
Рассмотрим группу всех невырожденных матриц п-го порядка над полем комплексных чисел и некоторое конечное множество полиномиальных соотношений между элементами матриц. Выделим совокупность всех матриц, удовлетворяющих этим соотношениям. Если эта совокупность матриц образует группу, то эта группа называется линейной алгебраической группой. [32]
Описанные выше математические модели фильтрации флюидов в трещиновато-пористых коллекторах, на наш взгляд, недостаточно точно описывают взаимодействие блоков и трещин пластов ( не говоря уже об учете фильтрационных течений внутри бло - ( ков) для сред 3-го и 4-го типов данной классификации. В то же время представляется вероятным что наиболее часто в практике разработки залежей с трещиновато-пористыми коллекторами встречаются коллекторы, которые можно отнести именно к 3-му типу. Физически эти коллекторы представляют собой совокупность пористых матриц средней и низкой проницаемости от десятых до тысячных долей мкм2 размерами от единиц до десятков метров. Матрицы разделяются хорошо развитой системой трещин. Обычно доля их объема в общем объеме пористого пространства коллектора невелика и составляет тысячные и сотые доли. Представляется интересным исследование движения флюидов именно в коллекторах такого типа. [33]
В группе G теперь строим убывающую цепочку подгрупп HI следующим образом: полагаем Н0 G и далее рассуждаем индуктивно. Пусть подгруппа Ht для некоторого i построена. Gt-i / G Если эта фактор-группа конечна, то через Нм обозначаем совокупность тех элементов группы Н которые производят в GI / GI тождественный автоморфизм. Совокупность матриц, в которые таким образом отображаются элементы Ht, обозначим через Dt. Dt будет разрешимой матричной группой, и ввиду теоремы 1 Dt содержит подгруппу Ft конечного индекса, матрицы которой в алгебраическом замыкании основного поля будут приводимы к треугольной форме. [34]
Рассмотрим евклидово пространство R и совокупность всех невырожденных линейных преобразований R в себя, оставляющих на месте начало координат. Они могут быть записаны в виде квадратных невырожденных матриц ( пХп) с вещественными коэффициентами. Совершенно аналогично определяется совокупность матриц GL ( n, С) над полем С. [35]
При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы; в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной: совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия ( эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. [36]
При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы; в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной: совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия ( эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. [37]
Пусть преобразование А пространства L3 не меняет ориентацию некомпланарных троек векторов. Произведение двух преобразований, не меняющих ориентации тройки векторов, очевидно, также не меняет их ориентации. Таким же свойством обладает и преобразование А-1, обратное преобразованию А. Этой группе соответствует группа матриц третьего порядка с положительными определителями. Заметим, что совокупность матриц с отрицательными определителями группы не образует, так как произведением двух матриц с отрицательными определителями будет матрица с положительным определителем. [38]
Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л - линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных - базиса представления. [39]