Cтраница 2
Существуют такие физические величины, которые обладают в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в другой - непрерывным. Для собственных функций такой величины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только отметить, что полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. [16]
Существуют операторы, которые обладают как дискретным, так и непрерывным спектром. Собственные функции непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функциям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в этом случае полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. [17]
Существуют операторы, которые обладают как дискретным, так и непрерывным спектром. Собственные функции непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функ циям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в этом случае полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. [18]
Однако приведенное доказательство неприменимо в случае, когда одному и тому же собственному значению соответствуют две собственные функции. В этом случае говорят, что собственное значение вырождено. Поскольку оператор А всегда линеен, произвольная линейная комбинация этих р собственных функций - тоже собственная функция. Поэтому всегда можно считать, что совокупность собственных функций линейного эрмитова оператора взаимно ортогональна. [19]
Координатное представление ( 27 1) вектора состояния не является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном пространстве любой трехмерный вектор может Зыть определен своими координатами в некоторой произвольно выбранной системе трех ортогональных единичных базисных векторов е, е2, ez, так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определен через значения своих координат - волновых функций. В гильбертовом пространстве в качестве базисных векторов используются полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже знаем ( см. § § 9 и 10), что совокупность собственных функций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему функций, поэтому любую такую совокупность функций можно использовать в качестве базисной системы. [20]
Координатное представление ( 27 1) вектора состояния не является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном пространстве любой трехмерный вектор может быть определен своими координатами в некоторой произвольно выбранной системе трех ортогональных единичных базисных векторов е, еа, еа, так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определен через значения своих координат - волновых функций. В гильбертовом пространстве в качестве базисных векторов используются полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже знаем ( см. § § 9 и 10), что совокупность собственных функций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему функций, поэтому любую такую совокупность функций можно использовать в качестве базисной системы. [21]