Cтраница 1
Канонический вид квадратичной формы и преобразование переменных определены неоднозначно. [1]
Канонический вид квадратичной формы и преобразование переменных определяются неоднозначно. [2]
Иногда удается среди канонических видов квадратичной формы выбрать наиболее простой. В частности, это всегда возможно, если основным полем является поле комплексных или действительных чисел. Квадратичную форму над полем комплексных чисел называют также комплексной квадратичной формой, а над полем действительных - действительной. [3]
Для того чтобы получить канонический вид квадратичной формы, базис нужно выбрать специально. В произвольном базисе квадратичная форма будет полной, то есть будет, вообще говоря, иметь все члены. [4]
Не требуется, чтобы канонический вид квадратичной формы или ее канонический базис определялись однозначно. Скажем, при произвольной перестановке векторов канонического базиса вновь получается канонический базис. [5]
Ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно. Например, любая перестановка векторов канонического базиса приводит вновь к каноническому базису. [6]
Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы. [7]
Тогда выражение ( 2) называется каноническим видом квадратичной формы. [8]
Так как общее число коэффициентов Л в каноническом виде квадратичной формы равно п, то отсюда непосредственно следует, что число коэффициентов AJ, равных нулю, также есть инвариант квадратичной формы. [9]
Число отличных от нуля коэффициентов i в каноническом виде квадратичной формы называется рангом квадратичной формы. [10]
Число отрицательных и число положительных коэффициентов ъ в каноническом виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в котором она приведена к каноническому виду. [11]
Так как общее число коэффициентов X - в каноническом виде квадратичной формы равно / г, то отсюда непосредственно следует, что число коэффициентов X -, равных нулю, также есть инвариант квадратичной формы. [12]
Число отличных, от нуля коэффициентов X - в каноническом виде квадратичной формы называется рангом квадратичной формы. [13]
Мы видели в 7.33 а, что в аффинном пространстве ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно; вообще говоря, можно было включить в канонический базис формы любой наперед заданный вектор. В евклидовом пространстве и при условии, что рассматриваются только ортогональные и нормированные базисы, положение иное. Дело в том, что вместе с матрицей квадратичной формы, как мы видели, преобразуется и матрица соответствующего симметричного линейного оператора; если найден канонический базис квадратичной формы, то одновременно найден базис из собственных векторов симметричного оператора. При этом коэффициенты квадратичной формы в каноническом базисе ( канонические коэффициенты) совпадают с соответствующими собственными значениями оператора. Но собственные значения оператора А суть корни уравнения let ( А - ХЕ) - 0, которое не зависит от выбора базиса и инвариантно связано с оператором А. Следовательно, совокупность канонических коэффициентов формы ( Ал, х) определена однозначно. [14]
Мы видели в 7.33 а, что в аффинном пространстве ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно; вообще говоря, можно было включить в канонический базис формы любой наперед заданный вектор. В евклидовом пространстве и при условии, что рассматриваются только ортогональные и нормированные базисы, положение иное. Дело в том, что вместе с матрицей квадратичной формы, как мы видели, преобразуется и матрица соответствующего симметричного линейного оператора; если найден канонический базис квадратичной формы, то одновременно найден базис из собственных векторов симметричного оператора. При этом коэффициенты квадратичной формы в каноническом базисе ( канонические коэффициенты) совпадают с соответствующими собственными значениями оператора. Но собственные значения оператора А суть корни уравнения det ( А - Е) - О, которое не зависит от выбора базиса и инвариантно связано с оператором А. Следовательно, совокупность канонических коэффициентов формы ( Ах, х определена однозначно. [15]