Cтраница 2
Задача о приведении уравнения ( 14) к каноническому виду полностью сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы старших членов, которая стоит в левой части этого уравнения. Главные направления этой формы называются главными направлениями данной кривой. [16]
Уравнение ( 10) имеет гиперболический тип в точке М0 ( в области D), если в точке М0 ( соответственно в любой точке области D) п - 1 коэффициент канонического вида квадратичной формы ( 11) имеет один знак, а один коэффициент противоположен им по знаку. К уравнениям гиперболического типа приводят различные задачи о колебательных процессах. В более общем случае уравнение ( 10) имеет ультрагиперболический тип, если т коэффициентов канонического вида квадратичной, формы одного знака, а остальные п - т - противоположного. [17]
Наконец, уравнение ( 10) имеет в точке Ма ( в области D) параболический тип, если в точке М0 ( соответственно в области D) котя бы один из коэффициентов канонического вида квадратичной формы ( 11) равен нулю. Такие уравнения описывают процессы распространения тепла, диффузии и некоторые другие. [18]
Наконец, уравнение ( 10) имеет в точке М ( в области D) параболический тип, если в точке М0 ( соответственно в любой точке области D) хотя бы один из коэффициентов канонического вида квадратичной формы ( 11) равен нулю. Такие уравнения описывают процессы распространения тепла, диффузии и некоторые другие. [19]
В частности, инварианты линейных преобразований квадратичной формы ( ранг, число положительных коэффициентов и число отрицательных коэффициентов при квадратах в ее каноническом виде) не меняются при заменах независимых переменных в уравнении. Канонический вид квадратичной формы ( 53) определяется собственными значениями симметричной матрицы яг у ( л:) г А именно, эллиптичность уравнения ( 52) в точке х равносильна тому, что все эти собственные значения одного знака, гиперболичность - тому, что п - 1 собственных значений одного знака, а одно имеет противоположный знак; наконец, параболичность в точке х означает, что имеется одно нулевое значение, а все остальные одного знака. [20]
Определение 22.5. Квадратичная форма называется канонической, если ее матрица диагональна. Каноническим видом квадратичной формы называется любая эквивалентная ей каноническая форма. [21]
Эта теорема доказывается с помощью метода выделения полного квадрата, который называется методом Л агр ан ж а. Следует иметь в виду, что канонический вид квадратичной формы, так же как и линейное невырожденное преобразование, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду, определяются неоднозначно. Однако при этом справедлив закон инерции квадратичной формы: число слагаемых с положительными каноническими коэффициентами и число слагаемых с отрицательными каноническими коэффициентами постоянно и не зависит от линейного невырожденного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. [22]
Линейное преобразование называется невырожденным, если его матрица невырожденна. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования. Каноническим видом данной квадратичной формы называется эквивалентная с ней форма, не содержащая произведений неизвестных, а нормальным видом - такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных ( не считая нулевых) равны 1 для вещественной и - - I для комплексной области. [23]
Ливейное преобразование называется невырожденным, если его матрица невырожденна. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них - переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования. Каноническим видом данной квадратичной формы называется эквивалентная с ней форма, не содержащая произведений неизвестных, а нормальным видом - такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных ( не считая нулевых) равны 1 для вещественной и 1 для комплексной области. [24]
Третья глава имеет своим предметом линейные преобразования и матрицы. И здесь основные вопросы прежде всего излагаются в двумерном случае с последующим обобщением на трехмерное пространство. В конце главы рассматривается приведение к каноническому виду квадратичных форм и устанавливается связь этого вопроса с теорией линий и поверхностей второго порядка. Третья глава написана соответственно требованиям по элементам линейной алгебры новой программы курса математики высших технических учебных заведений. Изложение последней главы не зависит от двух первых глав. [25]
Уравнение ( 10) имеет гиперболический тип в точке М0 ( в области D), если в точке М0 ( соответственно в области D) п - 1 коэффициент канонического вида квадратичном формы ( 11) имеет один знак, а один коэффициент противоположен им по знаку. К уравнениям гиперболического типа приводят различные задачи о колебательных процессах. В более общем случче уравнение ( 10) имеет ультраеиперболический тип, если m коэффициентов канонического вида квадратичной формы одного знака, а остальные п-т - противоположного. [26]