Четырехчленное соотношение
Cтраница 1
Четырехчленное соотношение возникает в ситуации, когда на узле есть две близкие двойные точки ( рис. 6), которые хотят пройти друг сквозь друга. У них для этого есть разные возможности. Если аккуратно проанализировать поведение инварианта для таких двух соседних точек, то окажется, что должно выполняться четырехчленное соотношение. Это соотношение было найдено Васильевым. [1]
В отличие от соотношения Татта, в четырехчленном соотношении играет роль порядок вершин. В соотношении Татта роль играет только ребро. В четырехчленном соотношении третий член зависит не только от ребра, но и от порядка вершин этого ребра. [2]
 |
Образующие кольца Татта Если гипотеза о том, что отображе. [3] |
Итак, нас интересуют инварианты графов, удовлетворяющие четырехчленному соотношению. Коумножение вводит структуру алгебры Хопфа и в кольце Татта, но там алгебра получится уже не градуированная, а только фильтрованная, потому что соотношение Татта не сохраняет число вершин. [4]
Нас будут интересовать функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющие четырехчленному соотношению. [5]
 |
Удвоение хорды.| Пример удвоения хорд в диаграмме. В результате удвоения получилось 3 окружности.| Проверка равенства ( 1 ( 3. [6] |
Действительно, число пересечений хорд для всех четырех диаграмм в четырехчленном соотношении легко находится; эти числа для двух диаграмм одинаковые и для двух других диаграмм тоже одинаковые, но отличаются на 1 от первых двух чисел. [7]
Утверждение состоит в том, что если мы рассматриваем хордовые диаграммы по модулю четырехчленного соотношения, то это произведение корректно определено. Вообще говоря, мы можем разрывать хордовые диаграммы в разных точках и получать разные произведения, но по модулю четырехчленного соотношения они оказываются одинаковыми. [8]
Складывая попарно эти уравнения, придем к т ( т - 1) / 2 четырехчленным соотношениям относительно ошибок. Еще заметим, что все эти соотношения линейно выражаются через ( га - 1) линейно независимых соотношений. Поэтому остальные ( га - 1) ( га - 2) / 2 соотношений бесполезно использовать в статистических критериях. [9]
В отличие от ситуации с хордовыми диаграммами, для введения структуры алгебры Хопфа нам не нужно четырехчленное соотношение. Структура алгебры Хопфа присутствует здесь изначально, но она слабая. Интересно то, что структура алгебры Хопфа выдерживает факторизацию по четырехчленному соотношению. То, что сохраняется умножение, очевидно. То, что сохраняется коумножение, требует небольшого доказательства. [10]
Теорема Концевича, Инварианты Васильева порядка п образуют такое линейное пространство У, что факторпространство Vn ( Vn - изоморфно пространству А линейных функций на хордовых диаграммах порядка п по модулю одночленного и четырехчленного соотношения. [11]
 |
Построение весовой системы по алгебре Ли. [12] |
Концевичу, гласит, что эта сумма, во-первых, лежит в центре универсальной обертывающей алгебры, во-вторых, этот элемент универсальной обертывающей алгебры не зависит от того, в каком месте разрывается хордовая диаграмма, и не зависит от выбора базиса, в-третьих, и это главное, полученная функция со значениями в центре универсальной обертывающей алгебры ( коммутативном кольце) удовлетворяет четырехчленному соотношению. Оно вытекает из тождества Якоби в алгебре Ли. [13]
Из задачи ( а) следует, что все ненулевые диаграммы порядка 4 выражаются через указанные три диаграммы. Перебор всех возможных вариантов четырехчленного соотношения показывает, что в условии задачи ( а) выписаны все нетривиальные соотношения между ненулевыми диаграммами. [14]
Отсюда возникает естественный вопрос. По-видимому, среди инвариантов графов, удовлетворяющих четырехчленному соотношению, есть большой класс инвариантов, которые происходят из алгебр Ли. [15]
Страницы: 1 2