Четырехчленное соотношение
Cтраница 2
Поскольку есть гомоморфизм А - Т, есть и гомоморфизм двойственных алгебр А - F, действующий в обратную сторону. Тем самым, любой инвариант графов, удовлетворяющий четырехчленному соотношению, определяет весовую систему. Поэтому если у нас есть большой запас инвариантов графов, удовлетворяющих четырехчленному соотношению, то мы автоматически получаем большой запас весовых систем, который, как можно ожидать, будет более обозримым, чем те весовые системы, которые можно было изначально получить по хордовым диаграммам. [16]
Естественный вопрос: Какие функции на хордовых диаграммах могут так получиться. Ответ состоит в том, что эти функции должны удовлетворять четырехчленному соотношению. Это не единственное соотношение, которому они должны удовлетворять. Я скажу об этом несколько слов. [17]
 |
Четырехчленное соотношение и вершинные квадраты.| Примитивные элементы в размерностях 2 и 3. [18] |
На рис. 17 видно, что число реберных квадратов не удовлетворяет четырехчленному соотношению. [19]
Утверждение состоит в том, что если мы рассматриваем хордовые диаграммы по модулю четырехчленного соотношения, то это произведение корректно определено. Вообще говоря, мы можем разрывать хордовые диаграммы в разных точках и получать разные произведения, но по модулю четырехчленного соотношения они оказываются одинаковыми. [20]
В отличие от соотношения Татта, в четырехчленном соотношении играет роль порядок вершин. В соотношении Татта роль играет только ребро. В четырехчленном соотношении третий член зависит не только от ребра, но и от порядка вершин этого ребра. [21]
В отличие от ситуации с хордовыми диаграммами, для введения структуры алгебры Хопфа нам не нужно четырехчленное соотношение. Структура алгебры Хопфа присутствует здесь изначально, но она слабая. Интересно то, что структура алгебры Хопфа выдерживает факторизацию по четырехчленному соотношению. То, что сохраняется умножение, очевидно. То, что сохраняется коумножение, требует небольшого доказательства. [22]
Поскольку есть гомоморфизм А - Т, есть и гомоморфизм двойственных алгебр А - F, действующий в обратную сторону. Тем самым, любой инвариант графов, удовлетворяющий четырехчленному соотношению, определяет весовую систему. Поэтому если у нас есть большой запас инвариантов графов, удовлетворяющих четырехчленному соотношению, то мы автоматически получаем большой запас весовых систем, который, как можно ожидать, будет более обозримым, чем те весовые системы, которые можно было изначально получить по хордовым диаграммам. [23]
Четырехчленное соотношение возникает в ситуации, когда на узле есть две близкие двойные точки ( рис. 6), которые хотят пройти друг сквозь друга. У них для этого есть разные возможности. Если аккуратно проанализировать поведение инварианта для таких двух соседних точек, то окажется, что должно выполняться четырехчленное соотношение. Это соотношение было найдено Васильевым. [24]
Можно попытаться интерпретировать коэффициенты этого многочлена. Третий коэффициент выражается через число треугольников и число квадратов в графе. Из этого удается вывести, что число вершинных квадратов в графе удовлетворяет четырехчленному соотношению. [25]
На рис. 17 видно, что число реберных квадратов не удовлетворяет четырехчленному соотношению. Число совершенных паросочетаний в графе тоже удовлетворяет четырехчленному соотношению. Совершенное паросочетание, или l - фактор, это такой набор из п ребер в графе с 2 / г вершинами, что любая вершина принадлежит одному ребру. [26]
Естественный вопрос: Какие функции на хордовых диаграммах могут так получиться. Ответ состоит в том, что эти функции должны удовлетворять четырехчленному соотношению. Это не единственное соотношение, которому они должны удовлетворять. Я скажу об этом несколько слов. Для оснащенных узлов помимо четырехчленного соотношения никаких других соотношений нет. А для обычных узлов есть еще так называемое одночленное соотношение. Но оно играет несущественную роль, поэтому я о нем рассказывать не буду. [27]
Такая комплексификация должна быть и у инвариантов Васильева. Что это такое, сказать трудно, однако можно предположить, как выглядит комплексификация хордовой диаграммы. Сфера S3 служит комплексификацией окружности S1, а роль хорд ( нульмерных сфер) играют одномерные компоненты зацеплений. Индекс пересечения хорд, который в вещественной ситуации может принимать значения из Z / 2Z, переходит в целочисленный индекс зацепления. Для комплекси-фицированных хордовых диаграмм можно даже написать четырехчленное соотношение ( в нем участвует так называемое второе движение Кирби), однако его смысл пока совершенно неясен. [28]
 |
Четырехчленное соотношение для графов пересечений. [29] |
Татт в этой работе вводит понятие кольца графов. Кольцо графов - это линейное пространство, натянутое на графы. Произведение задается несвязным объединением графов. Его долго ругали за эту работу все комбинаторщики, потому что непонятно, зачем нужна кольцевая структура на графах. С другой стороны, эта работа считается классической. Естественное желание, которое возникло, - проверить, не дадут ли другие инварианты Татта весовые системы. Единственный инвариант Татта, который приводит к весовым системам, - это хроматический многочлен. Но при этом выяснилось следующее. Давайте посмотрим на четыре хордовые диаграммы, которые участвуют в четырехчленном соотношении. [30]
Страницы: 1 2