Cтраница 3
Эти соотношения необходимы и с математической точки зрения. Действительно, деформированное состояние тела описывается тремя непрерывными функциями щ ( Хь), через которые на основании зависимостей Коши (1.40) определяются компоненты тензора деформации, а напряженное состояние тела определяется шестью независимыми компонентами ati тензора напряжений. Такая система уравнений называется ле-замкнутой, так как не позволяет найти функции ut ( xh) и сгг - ( xk, каковы бы ни были для них. Это вполне понятно, поскольку не учтены физические свойства рассматриваемой сплошнрй среды. [31]
Всякое упругое тело имеет бесконечно большое число степеней свободы. В методе Ритца деформированное состояние тела определяется выбором нескольких параметров, которые находятся из условия минимума полной энергии и выступают в качестве степеней свободы тела. Ограничение числа степеней свободы равносильно введению дополнительных внутренних связей, что приводит к завышению жесткости тела по сравнению с истинной. То же самое относится и к методу конечных элементов, если используются совместные элементы. [32]
Исследования показывают, что деформированное состояние тела, вообще говоря, неравномерно и изменяется от точки к точке. [33]
Поскольку в идеально упругом теле механическая энергия не рассеивается, его физические свойства при изотермическом процессе можно описать с помощью функции энергии деформации ( свободной энергии деформации по Гельмгольцу), отнесенной к единице объема материала в недеформированном состоянии. Эта функция однозначно определяется деформированным состоянием тела. [34]
Полученные нами теоремы и формулы дают общий метод определения упругих деформаций как отдельных тел, так и конструкций, составленных из них, в том случае, когда известно выражение потенциальной энергии через внешние силы. Это выражение для всех изученных случаев деформированного состояния тел без труда получается с помощью теоремы Клапейрона. [35]
Варьируя их, можно из (11.34) получить множество деформированных состояний тела, удовлетворяющих условиям, налагаемым связями, так как при любых значениях постоянных ат Ьт ст условия (11.31) удовлетворены. [36]
Известно из условия постоянства объема, что максимальная главная деформация по абсолютной величине равна сумме двух других деформаций, взятых с обратным знаком, в результате чего имеются три вида схем деформированного состояния тела. [37]
Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения г различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [38]
Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения иг различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [39]
Грани кубика расположим в плоскостях главных нормальных напряжений. Вопрос о характере деформирования пластической среды, который можно ожидать при данном распределении напряжений, формулируется следующим образом: как изменится вид рассматриваемого кубика, ребра которого параллельны направлениям главных нормальных напряжений, при деформированном состоянии тела. [40]
В результате одновременного действия на тело сил, вызывающих различные виды указанных основных деформаций, возникает более сложная деформация. Так, часто элементы машин и конструкций подвергаются действию сил, вызывающих одновременно изгиб и кручение, изгиб и растяжение или сжатие и др. Описанные деформации стержня дают представление об изменении его формы и размеров в целом, но ничего не говорят о степени и характере деформированного состояния материала. Исследования показывают, что деформированное состояние тела, вообще говоря, неравномерно и изменяется от точки к точке. [41]
Температурное поле и поле деформации в твердом теле в общем случае взаимосвязаны. Однако при обычной теплопередаче, происходящей в неравномерно нагретом твердом теле за счет теплового воздействия как окружающей среды, так и внутренних источников тепла, влиянием деформаций тела на распределение в нем температуры можно пренебречь. Это позволяет изучать температурное поле в твердом теле, соответствующее определенным условиям теплопередачи, независимо от деформированного состояния тела. [42]
В (15.94) в общем случае фигурируют элементы четырех произвольных состояний тела. Для первого из них известны внешние силы х и pv, для второго - перемещения и, для третьего - напряжения о и, наконец, для четвертого - деформации к. В част-лости, все эти векторы или некоторые из них могут относиться к одному и тому же напряженно - деформированному состоянию тела. [43]
Как следует из ( 1 - 31), тело деформируется под действием приложенных внешних сил таким образом, что его полная энергия принимает экстремальное значение. Определяя знак второй вариации б2Я, можно показать [24], что это экстремальное значение является минимумом. Это означает, что перевод тела в любое иное возможное деформированное состояние требует дополнительной затраты энергии. Итак, действительное деформированное состояние тела сообщает его полной энергии минимальное значение. Сказанное и является формулировкой теоремы о минимуме полной энергии. [44]
Поэтому необходимо иметь формулы для составляющих деформации как функции от мгновенных направлений, проведенных в деформированном теле. Уравнение (12.38) выражает удлинение X в направлении а, &, с в функции от этих последних величин. Мы должны, однако, не упускать из вида тот факт, что сдвиг [ например, выраженный уравнениями (12.28) пли (12.30) ] был получен для деформированного состояния тела п определенного наклона плоскости Е относительно направлений а, Ъ, с деформированного тела. Лучше всего было бы найти выражение для относительного сдвига в тех плоскостях, которые перпендикулярны данным направлениям а, Ь, с в деформированном теле. [45]