Cтраница 2
В § 7.1 мы приводим весьма полезную явную формулу для оператора эволюции свободного гамильтониана Штарка с постоянным электрическим полем, найденную Авроном и Херб-стом. Она применяется в § 7.2 для доказательства того, что операторы умножения, средние от которых обладают некоторыми определенными свойствами, являются компактными локально, на спектре гамильтониана Штарка. Этот результат уже был использован нами при изложении в теории Мурра в гл. [16]
С позиций чистой математики обе задачи, в общем, одинаково важны. Однако для приложений важнее изучение дискретного спектра, поскольку целый ряд имеющих принципиальное значение проблем ядерной физики, квантовой механики и квантовой химии упирается именно в строгий математический анализ дискретной части спектра многочастичных гамильтонианов. [17]
Было бы ошибкой воспринимать формулы типа ( 164), ( 168) как некие точные представления, совершенно свободные от связи с теорией возмущений. Не следует поэтому удивляться появлению внутренних противоречий в подобных формулах в тех случаях, когда теория возмущений заведомо некорректна, что на языке классической теории означает качественное различие в асимптотическом поведении решений точного и свободного уравнений движения, а на языке квантовой теории - качественное различие спектров соответствующих гамильтонианов. [18]
Собственные функции неперенор-мированного гамильтониана в упомянутых работах строятся с помощью координатного анзатца Бете. Возможность такого построения связана с тем, что двухчастичная матрица рассеяния фермионов над голым вакуумом является факторизованной, т.е. удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера. Спектр гамильтониана фершонной модели в конечном объеме определяется по спектру вспомогательного магнетика, построенного по факторизованной 8-матрице. В настоящее время известно много решении уравнения Янга-Бакстера, для которых получен спектр соответствующих магнетиков. [19]
Рассмотрим подробнее основные черты подхода к квантовому обобщению метода обратной задачи рассеяния, предложенного в работах [13, 14] и развиваемого в. Сравним прежде всего постановку задачи в классической и квантовой механике. Бели в классической механике обычно интересуются эволюцией начальных данных во времени, и классический метод обратной задачи рассеяния обычно нацелен на то, чтобы найти закон эвслщии во времени данных рассеяния вспомогательной линейной задачи, то для квантовой механики более характерен стационарный подход, наибольший интерес в котором представляют спектр гамильтониана и S - матрица. Однако, несмотря на такое кажущееся несходство постановок задачи, все же существует подход к классическому методу обратной задачи рассеяния, вполне аналогичный стационарному квантовоме-ханическоцу подходу. Исследование нелинейного эволюционного уравнения при таком подходе нацелено на то, чтобы поотроить из данных рассеяния вспомогательной линейной задачи переменные типа действие-угол для рассматриваемого уравнения и доказать таким образом его полную интегрируемость, определив попутно спектр элементарных возбуждений системы Вопрос же о временной эволюции представляет с этой точки зрения второстепенный интерес. Именно этот гамильтонов подход и был взят в качестве отправной точки для квантовомеханического обобщения метода обратной задачи рассеяния в работах [13, 14] и в на - - стоящей работе. [20]
Каждая зона, построенная в виде функции от ( о2, имеет общее число состояний, равное числу атомов. Очевидно, что даже когда р / се ф О, имеются легко определяемые зоны, соответствующие дельта-функциям ТА и ГО и состояниям LA и LO одкозонного гамильтониана. В случае электронных состояний возникают дискуссии по поводу того, какой смысл имеет наблюдавшееся исчезновение в аморфном Ge глубокого минимума между двумя максимумами плотности состояний, даваемой одиоэоиным гамильтонианом. Например, некоторые расчеты [5.63] показывают, что минимум исчезает, если присутствуют кольца из пяти связанных атомов наряду с кольцами из шести атомов, соответствующими кристаллическому состоянию. Однако более поздние расчеты для электронных [5.64] и колебательных [5.53] состояний не указывают на исчезновение минимума. В спектре аморфного вещества имеются три широких максимума. Максимум в области низких энергий соответствует ТА на фиг. ГО-зоны и LO-части спектра однозонного гамильтониана; средний максимум соответствует Ь4 - части спектра однозонного гамильтониана. Эта идентификация подтверждается подсчетом числа состояний, даваемых расчетной моделью, которая представлена на фиг. [21]
Каждая зона, построенная в виде функции от ( о2, имеет общее число состояний, равное числу атомов. Очевидно, что даже когда р / се ф О, имеются легко определяемые зоны, соответствующие дельта-функциям ТА и ГО и состояниям LA и LO одкозонного гамильтониана. В случае электронных состояний возникают дискуссии по поводу того, какой смысл имеет наблюдавшееся исчезновение в аморфном Ge глубокого минимума между двумя максимумами плотности состояний, даваемой одиоэоиным гамильтонианом. Например, некоторые расчеты [5.63] показывают, что минимум исчезает, если присутствуют кольца из пяти связанных атомов наряду с кольцами из шести атомов, соответствующими кристаллическому состоянию. Однако более поздние расчеты для электронных [5.64] и колебательных [5.53] состояний не указывают на исчезновение минимума. В спектре аморфного вещества имеются три широких максимума. Максимум в области низких энергий соответствует ТА на фиг. ГО-зоны и LO-части спектра однозонного гамильтониана; средний максимум соответствует Ь4 - части спектра однозонного гамильтониана. Эта идентификация подтверждается подсчетом числа состояний, даваемых расчетной моделью, которая представлена на фиг. [22]