Cтраница 3
В результате или основная доля времени уходила на непрерывное согласование отдельных частей работы, или после истечения существенного промежутка времени оказывалось, что эти части работы не стыкуются. Поэтому организаторские способности ученого, осуществляющего общее руководство решением задачи, зачастую не менее важны, чем его математические способности. [31]
В 1841 г. мальчик был взят в Эдинбург и определен в школу при Эдинбургской академии, где он учился до 1847 г., проводя летние каникулы в деревне. Интересы Джемса к школьным занятиям пробуждались медленно, но с тех пор как в 1844 г. в классе стали проходить геометрию, скоро обнаружились и его математические способности. [32]
Международные олимпиады являются важной формой международного сотрудничества в области просвещения. Они не только позволяют в какой-то степени сравнить уровень математического образования в различных странах, но и обменяться опытом внеклассной работы со школьниками, в частности опытом организации национальных олимпиад. Ясно, что устойчивые успехи той или иной страны на олимпиаде отражают прежде всего, сколь широко поставлено в стране дело математического просвещения на всех уровнях, начиная с отдельной школы, какое внимание ученые-математики уделяют работе со школьниками, проявляющими математические способности. [33]
Имя Барре де Сен-Венана ( 1797 - 1886) является в истории нашей науки одним из самых выдающихся имен. Первые опубликованные работы Сен-Венана, касающиеся этого предмета, можно найти в лекциях по прикладной механике, прочитанных студентам. Сен-Веиан соединял в себе большие математические способности с практическим взглядом на вещи. [34]
Взгляды Йенсена широко критиковались, и большинство психологов их отвергло. В действительности мы не знаем, на самом ли деле при тестировании интеллекта измеряются неизменные способности, не говоря уже о том, передаются ли такие способности по наследству. Критики Йенсена не признают, что различия в IQ у белых и нефов, которые обычно укладываются примерно в пятнадцать баллов по шкале IQ, обязаны своим происхождением генетическим различиям. При определении IQ оцениваются некоторые лингвистические, знаковые и математические способности, а, согласно аргументации, аналогичной аргументации Бернстайна и других исследователей, подобные навыки в основном формируются на самых ранних этапах обучения. Другие же интеллектуальные способности, которые в школьных курсах обычно не считаются важными, тесты просто упускают. [35]
Еще со времен Гаусса и Вебера в Геттингене стало традицией, что математика и физика развиваются не параллельно, а вместе. Клейн особенно энергично охранял эту традицию, расширив ее привлечением технических наук. Его идеалом было освобождение высшего математического исследования от его изоляции, связывая его применение с практикой, с техникой, оплодотворяя ее и одновременно оплодотворяясь и социально защищаясь ею. Гильберт в значительной мере действовал в геттингенском духе, но его интересы были направлены не столько на практику, сколько на сами принципы познания природы, почему он и поставил свои математические способности на службу современной физике. Чем ему физика обязана, об этом говорит все изложенное в настоящей статье. [36]
Так, например, у естественников наибольшего развития достигают, по-видимому: 1) зрительная память, 2) воображение и 3) настойчивость. У математиков мы видим уже несколько другой уклон. Здесь на первых местах фигурируют: 1) способность к анализу, 2) математические способности и лишь на третьем месте зритежьная память. У общественников ( экономистов и юристов) на первом месте мы находим, так же как и у математиков, анализ, но за ним следуют уже: 2) сообразительность и 3) синтез, а зрительная память и в особенности математические способности отступают значительно дальше назад. У филологов и философов, как и следовало ожидать, наиболее выдающимися оказываются, во-первых, филологические способности, а затем характерные для отвлеченного мышления способности к синтезу и анализу. Если же обратиться к прикладным наукам, то здесь у инженеров всякого рода, врачей и военспецов на первый план выдвигается: 1) зрительная память ж 2) настойчивость, а затем 3) сообразительность, филология же отодвигается в самый хвост. [37]
В систему AM первоначально было заложено около 100 правил вывода и более 200 эвристических алгоритмов обучения, позволяющих строить произвольные математические теории и представления. Дальнейшее развитие системы замедлилось и было отмечено, что несмотря на проявленные на первых порах математические способности, система не может синтезировать новых эвристических правил, т.е. ее возможности определяются только теми эвристиками, что были в нее изначально заложены. [38]
Мечтой отца было послать Иоанна для продолжения образования в Геттинген к Гауссу. Однако для осуществления этого намерения необходимы были значительные средства, которыми Больаи не располагал. Он обратился поэтому к Гауссу с письмом, в котором просил его взять Иоанна к себе, с тем что он покроет расходы по его содержанию. На это письмо ответа не последовало; Гаусс не счел даже нужным объяснить, почему он отклоняет просьбу. Отец и сын очень тяжело это пережили; но выхода не было, и отец определил Иоанна в инженерную академию в Вене, где он обучался на казенный счет. Здесь очень скоро обнаружились выдающиеся математические способности Иоанна, но в то же время его задорный и неуживчивый нрав. В 1823 г. он был произведен в офицеры и послан в небольшой венгерский город Темешвар, а позже переводился в другие гарнизоны. Годы своей службы, продолжавшейся до 1833 г., Иоанн прожил в глубоком уединении. [39]
Решить пример означает подставить в известной математической теореме вместо общего символа некоторый конкретный символ и прочитать то, что при этом получится. Например, из общей теории следует, что если х - а 6 с, то х я - 6 с. Решить задачу означает понять, истинна или ложна некая теорема, и затем доказать или опровергнуть ее. Математический метод позволяет проверить правильность доказательства, когда оно уже написано, но ничего не г орит о том, как его искать. Декарт рекомендует разбивать каждую трудную задачу на столь простые, чтобы их можно было решить, а затем обратным ходом, поднимаясь ступень за ступенью в гору, восстановить решение исходной задачи. Однако иногда даже эти весьма разумные советы бывают столь же бесполезными, как альпеншток и канат в руках туриста, пытающегося взобраться на стометровую отвесную стену, на которой нет ни единой трещинки. Опыт, знание многих математических теорем и, что гораздо важнее, их доказательств, умение обнаружить аналогию между известными теоремами и предметом собственных исследований, терпение, изобретательность в комбинировании идей, отстоящих далеко друг от друга, и, наконец, трудно определимое чутье, математические способности, обостренная интуиция - вот инструменты, с которыми истинный математик отправляется на поиски новых теорем. Если ему немного повезет и участок леса, в котором он ищет математического зверя, не слишком исходен другими, то охота может закончиться успешно. [40]
Директор заявил при этом отцу, что он не потерпит в гимназии атеистов и нигилистов. Но конечно, все годы школьной учебы любимым его предметом была математика. Интересно, что любовь к математике и способности были у Марковых фамильной чертой. Талантливым математиком был рано скончавшийся брат Андрея Андреевича, видным математиком стал впоследствии его сын. Маленький Андрюша не довольствовался школьным материалом, занимался математикой и самостоятельно, сверх программы. Однажды ему даже показалось, что им открыт новый способ решения дифференциальных уравнений. Последние ответили гимназисту, что его открытие уже известно в науке, но пожелали ему дальнейших успехов в математике. Ученые не забыли одаренного юношу и внимательно следили за его учебой уже в Петербургском университете, всячески поощряли и развивали его выдающиеся математические способности. [41]