Cтраница 3
Прежде всего, так как каждая овальная линия второго порядка есть проективный образ окружности, то достаточно убедиться в справедливости утверждения теоремы 5 для окружности. Но в силу известных теорем элементарной геометрии об углах, под которыми хорда видна из точек окружности, и угле между хордой и касательной, все упорядоченные пары соотве1ствующих друг другу прямых т, тг пучков Я и Я7 образуют в случае окружности один и тот же угол ( т, т) ( черт. [31]
Функция ftt) - невсзрастающая по t при) 0, ибо в оилу (6.2.7) j tf) 0, и р) - неубывающая при р ( О О, откуда и следует справедливость утверждения теоремы. [32]
Используя тот факт, что ( - Ak) 9 ( - Bk) - точные нижняя и верхняя грани, можно показать, что условия (4.66), ( 4 67) не только достаточны-но и необходимы для справедливости утверждений теорем I, II соответственно. [33]
Сопоставляя полученные оценки для / t, / 2, / 3 и / 4 и замечая, что при Х 1 в оценках / t, / 2, / 3 показатель X можно заменить на 1 - г, убеждаемся в справедливости утверждения теоремы. [34]
Сопоставляя полученные оценки для / х, / 2, / 3 и / 4 и замечая, что при X 1 в оценках / j, 1г, ] а показатель X, можно заменить на 1 - е, убеждаемся в справедливости утверждения теоремы. [35]
Используя структуру пространства S8 и тот1 факт, что V ( Ь, л) - точная нижняя грань, можно показать, что неравенство Т ( а - Ь2) Т ( й, JJL) не только достаточно, но и необходимо для справедливости утверждения теоремы. [36]
Но ( 10) есть матрица формы ( 7), а из п 6 § 174 мы знаем, что при невырожденном линейном преобразовании переменных ранг квадратичной формы не изменяется. Но справедливость утверждения теоремы на матрице ( 11) проверяется непосредственно. [37]
Поэтому система уравнений (4.94) имеет смысл. Необходимость условия 1) для справедливости утверждения теоремы очевидна. [38]
При таком упорядочении матрица коэффициентов системы ( 5) становится верхней треугольной с ненулевыми элементами на диагонали, откуда следует, что соотношения в системе ( 5) линейно независимы. Следовательно, базис модуля Lz ( G) содержит Д - ( Р - hn - 1) функций, откуда следует справедливость утверждения теоремы. [39]
При таком упорядочении матрица коэффициентов системы (2.5) становится верхней треугольной с ненулевыми элементами на диагонали, откуда следует, что соотношения в системе (2.5) линейно независимы. Следовательно, модуль Lz ( G ] обладает базисом, состоящим из Е - - ( V - hn - 1) функций, откуда следует справедливость утверждения теоремы. [40]
Очевидно, что если вдоль интегральных кривых при t - - U расстояние точек кривой до начала координат не возрастает, то решение х О устойчиво. Если взамен расстояния до начала координат будет взято какое-нибудь обобщенное расстояние V ( t x), а точнее, функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям теоремы 5, то справедливость утверждения теоремы для уравнений с запаздывающим аргументом, аналогичной теореме 5, будет столь же очевидной. Нетрудно доказать и теоремы, аналогичные теореме 6 Ляпунова об асимптотической устойчивости и теореме 7 о неустойчивости. Однако доказать обращение этих теорем не удается. Заметим, что производная в силу системы от функции Ляпунова V содержит большее число переменных, чем в случае уравнений без запаздывания. [41]
Из формулы (1.2.4) следует, что собственные числа матрицы J совпадают с корнями многочлена из условия 3, взятыми с обратным знаком. Поэтому ТР системы ( 27) асимптотически устойчиво. Отсюда следует справедливость утверждения теоремы. [42]
Из теоремы 6.1 следует, что в этом случае любая тупиковая для графа G последовательность преобразований I, II переводит его в цепь. Аналогично, если G - GtpG2, то справедливость утверждения теоремы следует из теоремы 6.2. Теорема доказана. [43]
ZA Итак, вектор е одновременно и принадлежит L1 и ортогонален к LL. Следовательно, е О, что и доказывает справедливость утверждения теоремы. [44]