Cтраница 2
Если вычисление функции относительно нетрудоемко, неразумно применять в процессе вычислений интерполяцию степени выше второй; в противном случае возникает задача нахождения корней многочленов, сама требующая достаточно большого числа арифметических операций. Если вычисление функции трудоемко, может оказаться более выгодным пойти по пути увеличения степени интерполяционного многочлена. [16]
Для того случая, когда берется формула Стирлинга, оканчивающаяся на разностях нечетного порядка, будем предполагать, что возможны упрощения, которые мы проделали, ( п, как и всегда, - степень интерполяционного многочлена. [17]
Если высшие производные функции малы, то мала и ошибка приближения. Однако для некоторых функций их высшие производные ведут себя как тг. Поэтому не всегда повышение степени интерполяционного многочлена может привести к уменьшению ошибки аппроксимации. [18]
Возможен и другой подход к интерполированию функций многих переменных при помощи многочленов. Мы уже не будем требовать, чтобы степень интерполяционного многочлена была наименьшей, и будем рассматривать такие системы узлов, для которых решение поставленной интерполяционной задачи будет не единственным. [19]
Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции ( метод Симпсона) и интерполирование с помощью сплайнов. [20]
Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции ( метод Симп-сона) и интерполирование с помощью сплайнов. [21]
Непрерывная функция не всегда может быть хорошо приближена интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности, последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции даже в том случае, если функция бесконечно дифференцируема. В тех случаях, когда сходимость имеет место, часто получение достаточно хорошего приближения требует использования полиномов высокой степени. В то же время, если для приближаемой функции удается подобрать подходящие узлы интерполяции, то степень интерполяционного многочлена, приближающего функцию с заданной точностью, может быть значительно снижена. [22]
Точнее задача ставится следующим образом. Имеется таблица функции y f ( x), содержащая достаточно много значений. В некоторой точке х, не приведенной в таблице, требуется вычислить значение функции приближенно с заданной точностью, используя соседние с х точки таблицы в качестве узлов интерполяции. Идея решения задачи состоит в том, чтобы постепенно наращивать узлы интерполяции и, значит, степень интерполяционного многочлена до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность ( если это вообще возможно) - о точности здесь принято судить по совпадению знаков в соответствующих разрядах результатов вычисления. [23]