Cтраница 3
Введено новое понятие ядра спектра семейства разностных операторов. В терминах радиусов ядер спектра даны оценки норм степеней операторов семейства, причем эти оценки оказываются равномерными для всего семейства и могут быть использованы для исследования устойчивости. [31]
Если бы в левой части вместо КК стояло число, меньшее единицы по модулю, мы могли бы разложить дробь в ряд, представляющий собою геометрическую прогрессию. Сделаем это с операторной дробью, понимая возведение в степень оператора так, как было определено умножение операторов. [32]
АЫ содержат б-функции и поэтому данный оператор не является вполне непрерывным. В этом случае необходимо рассматривать проитерирован-ные ураврения и соответствующие им степени оператора АПЫ. [33]
Теорема 1.9.5. Все кольца ALtX изоморфны Аг. Все обыкновенные линейные дифференциальные операторы га-го порядка с непрерывными коэффициентами ( локально) эквивалентны п-й степени оператора сдвига А. [34]
Последний вывод относится к задачам, в постановке которых использованы два независимых оператора. Если же один из-этих операторов константа, то в решении задачи ( которое формально можно разложить по степеням единственного оператора) некоммутативность умножения не играет роли. [35]
Hoi ( E), состоящее Из тех А 6 Hoi ( Е), для которых ( X: arg ( К) я - 9 cr p ( А) ] ц R ( К, А) С при X 6 С из сектора arg ( X) я - 9 при некоторой константе С. Этот факт устанавливается, как и в § 5.4, путем разложения ( X / - А - В) 1 в ряд по степеням оператора В. [36]
Из уравнения Z ( p) I ( p) U ( p), в котором 1 ( р) - ток на входе двухполюсника, Z p) - его операторное сопротивление, следует, что полином Zip) совпадает с характеристическим полиномом соответствующего дифференциального уравнения цепи. Действительно, переход от дифференциального уравнения цепи к характеристическому выполняется так же, как и переход от дифференциального уравнения к операторному, а именно путем замены k - тл производной тока на & - ю степень величины а ( при составлении характеристического уравнения) либо на & - ю степень оператора р при получении операторного уравнения. [37]
Пусть некоторая степень Лр непрерывного оператора Л обладает свойством - вогнутости. Тогда последовательные приближения (5.163) также сходятся к неподвижной точке оператора А. Степень Лр оператора Л может быть монотонной и в том случае, когда Л не обладает свойством монотонности. Например, если из х у вытекает Ах Ау, то оператор Лр при четных р будет монотонным. [38]
В алгоритме D используется тот факт, что Р2 Р, с тем чтобы RL1NK ( Р1) можно было изменить в Q1 - указатель на производную узла NODE ( PI) - а затем в шаге D3 возвратить его в исходное положение. Для тернарных операций трудно дать приемлемое обобщение этого приема. Но эта процедура явно тяжеловесна, и эта тяжеловесность растет чрезвычайно быстро с увеличением степени оператора. Поэтому проделанная нами в алгоритме D операция временной замены RLINK ( PI) - ке технический прием, а трюк. В основу более изящного метода управления процессом дифференцирования, который распространяется на операторы высоких степеней и не доверяется отдельным трюкам, можно положить алгоритм 2.3.3 F; подробно этот метод рассматривается в упр. [39]
Досле публикации известной работы Айзеншитца - Лондона [ 31 прошло более тридцати лет, прежде чем новые вычислительные возможности в связи с появлением быстродействующих ЭВМ дали толчок возрождению интереса к проблеме учета обмена в теории межмолекулярных взаимодействий. Для ускорения сходимости в разложение были включены ионные члены, отвечающие переносу заряда с одной молекулы на другую. Подстановка разложения в уравнение Шредингера приводит к системе уравнений, каждый матричный элемент в которой разлагается далее в двойной ряд по степеням оператора взаимодействия и интегралов перекрывания. [40]
В общем случае нек-рые генераторы низших порядков могут вырождаться, напр, в умножение на константу, так что соответствующие уравнения системы () не содержат полезной информации. Поэтому возникает задача: отобрать минимальное число уравнений из системы (), однозначно определяющих О. При этом вырождающиеся генераторы пополняют число начальных условий. Если конечная система вида () при нек-рых начальных условиях, среди к-рых содержится условие и х 0 у ( у), однозначно определяет решение и ( х, у) Д ф ( г /), причем операторы, стоящие в левых частях системы, коммутируют со всеми операторами, стоящими в правых частях, то операторы Rx суть О. В частности, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций от п переменных построены О. С помощью аналогичной техники построены [11] генераторы любого порядка, действующие в пространстве целых аналитич. Ли; по этим генераторам восстанавливаются О. Тейлора, к-рый дает разложение обычного сдвига по степеням оператора дифференцирования. [41]