Cтраница 3
Прежде чем устанавливать свойства рядов Стильтьеса, рассмотрим пример такого ряда. [31]
Являются ли [ fj моментами Стильтьеса или моментами Гамбургера. [32]
Для интегрируемой по Риману - Стильтьесу функции точная верхняя грань всех нижних сумм совпадает с точной нижней гранью всех верхних и совпадает с пределом любой последовательности интегральных сумм с диаметром разбиений, стремящимся к нулю. Все элементарные свойства интеграла Римана выполняются и для интеграла Римана - Стильтьеса. Интеграл по бесконечному промежутку определяется как предел интегралов по расширяющимся конечным промежуткам. [33]
Соответствующий интеграл называется интегралом Римана - Стильтьеса. [34]
Так как умножение членов ряда Фурье - Стильтьеса на выпуклую последовательность, стремящуюся к 0, превращает его в ряд Фурье [ гл. [35]
Теперь мы исследуем поведение коэффициентов Фурье - Стильтьеса для определенных неубывающих и непрерывных функций. [36]
X, причем интеграл понимается в смысле Стильтьеса. [37]
Одной из важнейших проблем, решенных интегралом Стильтьеса, является проблема измерения моментов. [38]
Двойные интегралы понимаются здесь как обычные интегралы Стильтьеса. [39]
X, причем интеграл понимается в смысле Стильтьеса. [40]
Результаты о сходимости аппроксимаций Паде для рядов Стильтьеса основаны на том, что все аппроксимации [ M - - J / M ( где J - - 1) имеют только вещественные отрицательные полюсы с положительными вычетами. Если функция ф ( и) имеет в точности т точек роста, то ( см. (1.4)) / ( г) - рациональная функция, имеющая т полюсов на отрицательной вещественной полуоси с положительными вычетами. В этом частном случае при J - 1 и М т все аппроксимации Паде [ Л1 У / УИ ] функции / ( г) совпадают с ней. В общем случае справедлива следующая важная теорема. [41]
Последний интеграл в (2.15) понимается в смысле Стильтьеса. [42]
Наше следующее заключение позволяет обратить интеграл Вейерштрасса - Стильтьеса. [43]
Однако если g интегрируема в смысле Лебега - Стильтьеса, то, очевидно, оба интеграла совпадают. [44]
Свойства сходимости различных последовательностей аппроксимаций Паде для рядов Стильтьеса хорошо известны; ряды Стильтьеса представляют основной класс функций, для которого имеется полная теория сходимости. [45]