Cтраница 1
Столлингс доказал также, что если два четырехмерных одно-связных многообразия / - эквивалентны, то их прямые произведения на открытый интервал диффеоморфны. [1]
В [223] Столлингс дает следующую комбинаторную характеристику эвклидова пространства размерности большей 4: стягиваемое открытое комбинаторное - многообразие односвязное в бесконечности есть Eh. Односвязность в бесконечности означает, что каждый достаточно далекий контур можно стянуть в точку вне заданного компакта. Этот окончательный результат усиливает аналогичные результаты Макмиллана - Зимана и других. [2]
Таким образом, проблему распознавания гомеоморфности многообразий Столлингса приходится решать совершенно отдельно. [3]
Построение й-кобордизмов с произвольным кручением мы излагаем по Столлингсу [ А. [4]
Наоборот, из теоремы Вальдхаузена 5.2.7 следует более ранняя теорема Столлингса [187], которая утверждает, что расслоенные 3-многообразия - - - это те неприводимые 3-многообразия, фундаментальная группа которых содержит конечно порожденную подгруппу с факторгруппой, изоморфной Z. Многие свойстг ва расслоенных многообразий индуцируются свойствами поверхности 5 и, следовательно, могут быть исследованы на уровне фундаментальных групп. [5]
При доказательстве этой теоремы, помимо теоремы Ке-рекьярто, использована теорема Столлингса [91], дающая описание конечно порожденных групп с более чем одним концом. [6]
Ослабленные теоремы для размерности 5 могут быть также доказаны в рамках теории поглощения ( созданной Столлингсом [1.2] и Зиманом [ А. [7]
Многообразия специального типа, для которых проблему распознавания приходится решать отдельно, состоят не только из многообразий Столлингса, но и из так называемых квазимногообразий Столлингса. Рассмотрение последних требует привлечения новых идей и результатов, появившихся гораздо позднее. Поэтому оригинальное доказательство теоремы 2 содержало пробел и более 20 лет она оставалась фактически не доказанной. [8]
Причина появления степени состоит в том, что ограничение на слой изотопического класса данного гомеоморфизма между двумя многообразиями Столлингса определено только с точностью до умножения на степень гомеоморфизма монодромии. [9]
Многообразия специального типа, для которых проблему распознавания приходится решать отдельно, состоят не только из многообразий Столлингса, но и из так называемых квазимногообразий Столлингса. Рассмотрение последних требует привлечения новых идей и результатов, появившихся гораздо позднее. Поэтому оригинальное доказательство теоремы 2 содержало пробел и более 20 лет она оставалась фактически не доказанной. [10]
Ньюмена об однородности ( возможность кусочно-линейным гомеоморфизмом многообразия перевести один комбинаторный элемент многообразия в другой), теорема 1939 г. Уайтхеда о регулярных окрестностях и новая теорема Зи-мана - Столлингса о поглощении. Основная теорема Уайтхеда заключается в том, что в комбинаторном многообразии любые две регулярные окрестности комплекса / С комбинаторно эквивалентны. В работах Столлингса и Зимана к этому добавлена теорема о поглощении, которая послужила основой многих доказательств. Для размерности 6 и больших семи более сильный результат получается с помощью дифференциальной топологии: комбинаторное многообразие, имеющее гомотопический тип сферы, комбинаторно эквивалентно краю симплекса. Таким образом, в этом случае решается также и вопрос о комбинаторной эквивалентности. [11]
Доказательство теоремы 7.3 5 получается теперь быстро, но использует очень сильные результаты. По теореме Столлингса 6.2.9 группа G расщепляется над конечной подгруппой. Если G на самом деле свободна от кручения, то эта конечная подгруппа должна быть тривиальна, и, используя теорему Грушко 2.2.27 и метод индукции по числу порождающих группы G, показываем, что G - свободная группа конечного ранга. Если G не является свободной от кручения, то теорему Грушко больше применять нельзя. К счастью, теорема Данвуди [65] 6.2.9 показывает, что конечно представленная группа не может расщепляться над конечными подгруппами бесконечно часть. Это опять делает возможным применение метода индукции и достижения желаемого результата. [12]
AJ I сюръективны, то есть являются изоморфизмами. Теперь из теоремы Столлингса 5.2.8 следует, что С 5Х [0, 1] и С есть расслоение над 51 со слоем S. [13]
Итогом этого обсуждения является то, что группа, имеющая два конца, разлагается специальным образом либо в свободное произведение с объединенной подгруппой, либо представляется в виде ЯЛ - расширения над конечной подгруппой. Как мы сейчас объясним, замечательная работа Столлингса [188] переносит этот результат на конечно порожденные группы, имеющие бесконечное множество концов. [14]
Отметим, что при замене гомеоморфизма / на сопряженный многообразие Mj не меняется. Это помогает свести проблему распознавания гомеоморфности многообразий Столлингса к проблеме сопряженности в группе классов отображений поверхности на себя. [15]