Cтраница 2
U S2) индуцирует мономорфизм фундаментальных групп. В общем случае это доказывается с помощью теоремы Столлингса о нижнем центральном ряде группы. U S2), которая продолжается до gD2 и, следовательно, гомотопна нулю. [16]
Теория концов, развивавшаяся вначале при исследовании способов компактификации пространств, была использована Столлингсом как путь доказательства теоремы о 3-многообразиях и в результате привела к получению чисто теоретико-группового результата о том, что группа без кручения, содержащая свободную подгруппу конечного индекса, сама является свободной. Рассуждения используют понятие когомологической размерности и поэтому дается его краткое описание. Наконец, в главе 7 нами рассматривается проблема равенства слов и другие связанные с ней проблемы разрешения: приводится пример представления группы, для которого не может существовать алгоритма, решающего проблему равенства слов. Мы также даем описание конечно представленных групп, содержащих свободную подгруппу конечного индекса в терминах теории автоматов. [17]
Значительная часть книги посвящена геометрическим методам и теории малых сокращений, представлены разделы по биполярным структурам Столлингса, разрешимости проблемы тождества слов и др. В книге отражены интенсивные исследования последнего десятилетия. От книги Магнуса и др. с тем же названием, вышедшей в издательстве Наука в 1975 г., оно выгодно отличается подбором материала и способом изложения. [18]
Перед обсуждением доказательства теоремы 6.2.9 следует сказать несколько слов о ее истоках. Эта теорема тесно связана с теорией 3-многообразий, и именно в процессе работы в рамках этой теории Столлингс подошел к данному результату. [19]
Например, восьмерка 4) ( 4i в таблице Александера - Бригга) является узлом Нойвирта - Столлингса, но не может быть получена как узел V П S8 комплексной особенности, так как его многочлен Александера Р - 3 1 не является произведением циклотомических многочленов ( ср. [20]
Ньюмена об однородности ( возможность кусочно-линейным гомеоморфизмом многообразия перевести один комбинаторный элемент многообразия в другой), теорема 1939 г. Уайтхеда о регулярных окрестностях и новая теорема Зи-мана - Столлингса о поглощении. Основная теорема Уайтхеда заключается в том, что в комбинаторном многообразии любые две регулярные окрестности комплекса / С комбинаторно эквивалентны. В работах Столлингса и Зимана к этому добавлена теорема о поглощении, которая послужила основой многих доказательств. Для размерности 6 и больших семи более сильный результат получается с помощью дифференциальной топологии: комбинаторное многообразие, имеющее гомотопический тип сферы, комбинаторно эквивалентно краю симплекса. Таким образом, в этом случае решается также и вопрос о комбинаторной эквивалентности. [21]
Пусть /: F - F - некоторый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм компактной ориентируемой поверхности F на себя. Тогда многообразие Mf, полученное из прямого произведения I У. F склеиванием оснований по гомеоморфизму /, называется многообразием Столлингса. [22]
Ему же принадлежит идея ручки. Однако по некоторым техническим причинам ручки удобны лишь в кусочно линейном случае, а в дифференцируемом случае обычно предпочитают равносильное понятие функции Морса. На кусочно линейный случай конструкции Смейла были перенесены несколькими авторами, в частности Столлингсом и Зиманом. [23]
Применительно к задаче алгоритмического распознавания гомеоморфности достаточно больших многообразий эта схема также работает. Трудность заключается в том, что иерархию нужно строить очень аккуратно, чтобы удержаться в рамках конечного числа возможностей, необходимого для алгоритмичности. Теория больших иерархий Иоганнсона [5] помогает преодолеть ее, но только для многообразий, не содержащих нетривиальных многообразий и квазимногообразий Столлингса. [24]
Еще в 1 940 - х годах Уитни было установлено, что при п 2 иммерсии Sn - М2п при надлежащих простых условиях могут быть регулярно продеформированы к гладким вложениям. Для п 2 такое утверждение неверно; именно это технически кардинально усложняет теорию 4-мерных односвязных многообразий. Начиная с конца 1950 - х гг. ( в течение всех 1960 - х гг.), ряд авторов - Хефлигер, Столлингс, Левин и др. - строили теорию вложений односвязных многообразий в евклидовы пространства, начиная с вложений гомотопических сфер. Мы не будем описывать здесь результаты этой теории, использующей, в частности, весь аппарат, развитый для классификационной теории. [25]
Для п 1 утверждение леммы очевидно. Если га3, то, согласно теореме 5.2, многообразие К односвязно. Таким образом, для п 3 многообразие / С является гомотопической сферой размерности 5, и потому утверждение леммы следует из доказанной Смейлом и Столлингсом обобщенной гипотезой Пуанкаре. [26]
Теорема об / z - кобордизме может быть обобщена в нескольких направлениях. Это обобщение, называемое теоремой об 5-кобордизме, доказано Мазуром [6], ( Бардейом [1] и Столлингсом. Отметим, наконец, что аналоги теорем об Л - и 5-кобордизме справедливы и, для кусочно линейных многообразий. [27]
Имеются некоторые отдельные результаты по проблеме классификации. Папакирьякопулос с помощью теоремы о петле и леммы Дена доказал, что по модулю гипотезы Пуанкаре полные крендели характеризуются своей фундаментальной группой. В [130, 131] Эпштейн доказывает, что если фундаментальная группа есть нетривиальное прямое произведение двух групп, одна из которых бесконечна, то одна из них есть бесконечная циклическая. Этот результат интересно сопоставить с теоремой Столлингса [225], что если фундаментальная группа многообразия имеет конечно порожденную подгруппу, фактор-группа по которой бесконечная циклическая, то эта подгруппа является на деле фундаментальной группой некоторой поверхности, лежащей в многообразии. При этом, если фактор-группа не есть циклическая второго порядка, а многообразие неприводимо, то оно есть пучок над окружностью, слоем которого служит упомянутая поверхность. [28]
Mk в Мп решена только в небольшом числе частных случаев. SkdS при ге - k 3 или при п - А1, ге 4, изотопно стандартному, а если п - fe2, 4, то локально плоская сфера 5 - 3 в S тогда и только тогда изотопна стандартной, когда дополнение S 5n - 2 имеет гомотопич. В коразмерности 2 могут существовать неизотопные узлы. Точно так же формулируется теорема Зимана - Столлингса о кусочно линейной И. [29]