Cтраница 1
Универсальные стрелки из функтора Ак во все объекты Т вместе образуют левый сопряженный функтор для Ак. Из этого общего факта вытекает, что если каждый функтор Т Е Ам имеет правое расширение Кана ( К ет - RK Т), то соответствие Т - ь R служит функцией объектов правого сопряженного функтора для Ак, причем е является единицей этого сопряжения. В дальнейшем мы построим правые расширения Кана для некоторых функторов Т, которые могут существовать и в том случае, когда правый сопряженный к Ак ( в целом) не существует. [1]
Универсальные стрелки единственны лишь с точностью до изоморфизма; возможно, именно из-за отсутствия абсолютной единственности это понятие формировалось медленно. Примеры существовали в течение долгого времени; решительный шаг был сделан в работе ( Samuel [1948]), где действительно сформулировано общее понятие универсальной стрелки; затем Бурбаки придали этому общему понятию широкую известность. С другой стороны, понятия предела и копредела имеют долгую историю в виде разнообразных конкретных примеров. Так, копределы применялись при доказательстве теорем о представлении бесконечных абелевых групп в виде объединения их конечно порожденных подгрупп. Пределы ( по упорядоченным множествам) появляются в теории р-адических чисел Гензеля и при построении гомологии и когомологии Чеха посредством предельных процессов, формализованных Понтрягиным. [2]
Каждое сопряжение определяет универсальную стрелку. Именно, в формуле ( 1) положим a Fx. Тогда в horn - множестве из левой части содержится единичная стрелка 1: Fx - Fx ее ( р-образ обозначим rjx. [3]
Существует огромное число примеров универсальных стрелок; перечислим лишь некоторые из них. [4]
Отметим, что мы говорим универсальная стрелка в 5 и универсальная стрелка из 5, а не универсальная и коуниверсальная стрелка. [5]
Отметим, что каждое из понятий универсальная стрелка, универсальный элемент и представимый функтор фактически охватывает два остальных. Так, универсальная стрелка из с в S: D - С соответствует ( см. предложение 1) естественному изоморфизму D ( r, d) C ( c, / Sd), а значит и представлению функтора ( 7 ( с, S -): D - Set или, равносильно, универсальному элементу для этого функтора. [6]
Доказательство сводится к использованию того факта, что универсальная стрелка ( подобно начальному объекту) единственна с точностью до изоморфизма. Поэтому существует единственный изоморфизм 9Х: Fx - - F x, для которого G0X о г х - т / х легко проверить, что преобразование в: F - F естественно. [7]
Отметим, что мы говорим универсальная стрелка в 5 и универсальная стрелка из 5, а не универсальная и коуниверсальная стрелка. [8]
Функция, вкладывающая математический объект в его подходящее пополнение, может рассматриваться как универсальная стрелка и во многих других случаях. Общее утверждение о единственности универсальной стрелки влечет единственность пополнения, с точностью до единственного изоморфизма ( что еще можно желать. [9]
Тогда ф является представлением функтора К, и каждое его представление получается таким способом из ровно одной универсальной стрелки такого вида. [10]
Диагональный функтор Л: С - С х С на объектах имеет вид Л ( с) ( с, с), а на стрелках A ( f) / / Универсальная стрелка из объекта ( а, Ь) категории СхС в функтор Л называется диаграммой Копроизведения. Эта пара имеет известное свойство универсальности: для любой пары стрелок /: а - i, g: Ь - d существует единственная такая стрелка / г: с - с. Если такая диаграмма Копроизведения существует, то объект с обязательно единствен ( с точностью до изоморфизма в категории ( 7); он обозначается с а П Ь или с а 6 и называется объектом Копроизведения. [11]
Отметим, что каждое из понятий универсальная стрелка, универсальный элемент и представимый функтор фактически охватывает два остальных. Так, универсальная стрелка из с в S: D - С соответствует ( см. предложение 1) естественному изоморфизму D ( r, d) C ( c, / Sd), а значит и представлению функтора ( 7 ( с, S -): D - Set или, равносильно, универсальному элементу для этого функтора. [12]
Обратно, пусть условия теоремы выполнены. Достаточно построить универсальную стрелку х - Ga из каждого х Е X в функтор G; тогда левый сопряженный для G строится поточечно. Такая универсальная стрелка является начальным объектом в категории запятой ( х - I G) D, так что нужно лишь проверить условия предыдущей теоремы для этой категории. Ясно, что из существования разрешающего множества для G вытекает существование такого множества для ( х - I G) D. Поскольку А имеет малые horn - множества, то это верно и для D. Чтобы показать, что D полна в малом, нужно лишь доказать существование любых малых произведений и уравнителей параллельных пар. [13]
Покажите, что универсальная стрелка X - - GFX для левого сопряженного к функтору ( 1) является инъекцией. Примените лемму Урысона: если х / у во вполне регулярном пространстве X, то существует непрерывное отображение /: X - / ( / - единичный отрезок), такое что fx ф / У -) В классических источниках эта компактификация описывается лишь для вполне регулярного X. Это ограничение излишне; оно связано с тем, что рассматривались лишь универсальные инъекции, а не универсальные морфизмы вообще. [14]
Функция, вкладывающая математический объект в его подходящее пополнение, может рассматриваться как универсальная стрелка и во многих других случаях. Общее утверждение о единственности универсальной стрелки влечет единственность пополнения, с точностью до единственного изоморфизма ( что еще можно желать. [15]