Cтраница 2
Она должна пропускаться через универсальную стрелку X - UFX, которая поэтому обязана быть вложением. [16]
Набор ( 2) можно расширить до ( 1), и потому он определяет сопряжение. В самом деле, в случае ( 2) для каждого объекта х Е X дана универсальная стрелка ( Fox, 77; покажем, что существует ровно один способ превратить FQ в функцию объектов такого функтора F, что преобразование т ]: 1х - GF будет естественным. [17]
Сначала рассмотрим вопрос о существовании начального объекта в данной категории, а затем используем тот факт, что каждая универсальная стрелка, определяемая единицей левого сопряженного, является начальным объектом в подходящей категории запятой. [18]
Докажите, что КапькТ существует, если и только если существует КапьКапкТ1, и тогда эти функторы ( и их универсальные стрелки) совпадают. [19]
Универсальные стрелки единственны лишь с точностью до изоморфизма; возможно, именно из-за отсутствия абсолютной единственности это понятие формировалось медленно. Примеры существовали в течение долгого времени; решительный шаг был сделан в работе ( Samuel [1948]), где действительно сформулировано общее понятие универсальной стрелки; затем Бурбаки придали этому общему понятию широкую известность. С другой стороны, понятия предела и копредела имеют долгую историю в виде разнообразных конкретных примеров. Так, копределы применялись при доказательстве теорем о представлении бесконечных абелевых групп в виде объединения их конечно порожденных подгрупп. Пределы ( по упорядоченным множествам) появляются в теории р-адических чисел Гензеля и при построении гомологии и когомологии Чеха посредством предельных процессов, формализованных Понтрягиным. [20]
Обратно, пусть условия теоремы выполнены. Достаточно построить универсальную стрелку х - Ga из каждого х Е X в функтор G; тогда левый сопряженный для G строится поточечно. Такая универсальная стрелка является начальным объектом в категории запятой ( х - I G) D, так что нужно лишь проверить условия предыдущей теоремы для этой категории. Ясно, что из существования разрешающего множества для G вытекает существование такого множества для ( х - I G) D. Поскольку А имеет малые horn - множества, то это верно и для D. Чтобы показать, что D полна в малом, нужно лишь доказать существование любых малых произведений и уравнителей параллельных пар. [21]
Обратно, если С имеет малые horn - множества, то понятие универсальная стрелка является частным случаем понятия универсальный элемент. [22]